Chủ đề này có 3 trả lời

[DangHongPhuc]

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp và $P$ bất kì. Gọi $M,N,Q,R$ là trọng tâm $\Delta PAB$, $\Delta PBC$, $\Delta PCD$, $\Delta PDA$. CMR: đường thẳng qua $M,N,Q,R$ lần lượt vuông góc với $CD,DA,AB,BC$ đồng quy.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vkhoa: 24-09-2016 - 07:29

[vkhoa]

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp và $P$ bất kì. Gọi $M,N,Q,R$ là trọng tâm $\Delta PAB$, $\Delta PBC$, $\Delta PCD$, $\Delta PDA$. CMR: đường thẳng qua $M,N,Q,R$ lần lượt vuông góc với $CD,DA,AB,BC$ đồng quy.

Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA

EG cắt FH tại I

ta có EFGH là hình bình hành

$\Rightarrow I$ là trung điểm EG, FH

Thực hiện phép vị tự tâm I tỉ lệ -1

$G\rightarrow E$, đường thẳng qua G vuông góc CD hay trung trực của CD$\rightarrow$  đường thẳng $d_1$ qua E vuông góc CD

trung trực DA$\rightarrow$ đường thẳng $d_2$ qua F vuông góc AD

trung trực AB$\rightarrow$ đường thẳng $d_3$ qua G vuông góc AB

trung trực BC$\rightarrow$ đường thẳng $d_4$ qua H vuông góc BC

mà trung trực các đoạn AB, BC, CD, DA đồng quy$\Rightarrow$ các đường thẳng $d_1, d_2, d_3, d_4$ đồng quy

Thực hiện phép vị tự tâm P tỉ lệ $\frac23$

E$\rightarrow$M, $d_1\rightarrow$ đường thẳng $d'_1$ qua M vuông góc CD

$d_2\rightarrow$ đường thẳng $d'_2$ qua N vuông góc DA

$d_3\rightarrow$ đường thẳng $d'_3$ qua Q vuông góc AB

$d_4\rightarrow$ đường thẳng $d'_4$ qua R vuông góc BC 

mà $d_1, d_2, d_3, d_4$ đồng quy

$\Rightarrow d'_1, d'_2, d'_3, d'_4$ đồng quy (đpcm)

Hình gửi kèm

• 

[DangHongPhuc]

 

Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA

EG cắt FH tại I

ta có EFGH là hình bình hành

$\Rightarrow I$ là trung điểm EG, FH

Thực hiện phép vị tự tâm I tỉ lệ -1

$G\rightarrow E$, đường thẳng qua G vuông góc CD hay trung trực của CD$\rightarrow$  đường thẳng $d_1$ qua E vuông góc CD

trung trực DA$\rightarrow$ đường thẳng $d_2$ qua F vuông góc AD

trung trực AB$\rightarrow$ đường thẳng $d_3$ qua G vuông góc AB

trung trực BC$\rightarrow$ đường thẳng $d_4$ qua H vuông góc BC

mà trung trực các đoạn AB, BC, CD, DA đồng quy$\Rightarrow$ các đường thẳng $d_1, d_2, d_3, d_4$ đồng quy

Thực hiện phép vị tự tâm P tỉ lệ $\frac23$

E$\rightarrow$M, $d_1\rightarrow$ đường thẳng $d'_1$ qua M vuông góc CD

$d_2\rightarrow$ đường thẳng $d'_2$ qua N vuông góc DA

$d_3\rightarrow$ đường thẳng $d'_3$ qua Q vuông góc AB

$d_4\rightarrow$ đường thẳng $d'_4$ qua R vuông góc BC 

mà $d_1, d_2, d_3, d_4$ đồng quy

$\Rightarrow d'_1, d'_2, d'_3, d'_4$ đồng quy (đpcm)

 

Bạn dùng vectơ được không chứ mình mới học lớp 10 à 

[vkhoa]

Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA

gọi O là tâm ngoại tiếp ABCD

lấy điểm M' sao cho $\overrightarrow{QM'} =\frac23 .\overrightarrow{OE}$

có OE vuông góc AB

$\Rightarrow $M' thuộc đường thẳng qua Q vuông góc AB

ta có $\overrightarrow{OM'} =\overrightarrow{OQ} +\frac23\overrightarrow{OE}$

$=\frac13(\overrightarrow{OP} +\overrightarrow{OC} +\overrightarrow{OD}) +\frac23 .\frac12(\overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OB})$

$=\frac13(\overrightarrow{OP} +\overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OB} +\overrightarrow{OC} +\overrightarrow{OD})$

dựng các điểm N', Q', R' sao cho 

$\overrightarrow{RN'} =\frac23 .\overrightarrow{OF}$

$\overrightarrow{MQ'} =\frac23 .\overrightarrow{OG}$

$\overrightarrow{NR'} =\frac23 .\overrightarrow{OH}$

ta được $\overrightarrow{OM'} =\overrightarrow{ON'} =\overrightarrow{OQ'} =\overrightarrow{OR'}$

$\Leftrightarrow M'\equiv N'\equiv Q' \equiv R'$

$\Rightarrow$ đpcm

Hình gửi kèm

•