Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề chọn đội tuyển PTNK ngày 2 năm 2016-2017


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1 I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học
  • Sở thích:Number theory,Combinatoric

Đã gửi 22-09-2016 - 17:04

Bài 1 : Với mỗi số nguyên dương $n$ ,tồn tại duy nhất số tự nhiên $a$ thỏa mãn $a^2 \le n<(a+1)^2$ 
Đặt $\Delta_n=n-a^2$
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của $\Delta_n$ khi $n$ thay đổi và luôn thỏa $n=15m^2$ với $m$ là số nguyên dương
b) Cho $p,q$ là các số nguyên dương và $d=5(4p+3)q^2$. Chứng minh $\Delta_d \ge 5$
Bài 2 : Với các số nguyên $a,b,c,d$ thỏa $1 \le a<b<c<d$, kí hiệu 
$T(a,b,c,d)=\{{x,y,z,t} \subset N /1 \le x<y<z<t,x \le a,y \le b,z \le c,t \le d \}$ 
a) Tính số phần tử của $T(1,4,6,7)$ 
b) Cho $a=1$ và $b \ge 4$. Gọi $d_1$  là số phần tử của $T(a,b,c,d)$ chứa $1$ và không chứa $2$,$d_2$ là số phần tử chứa $1,2$ nhưng không chứa $3$,$d_3$ là số phần tử chứa $1,2,3$ nhưng không chứa $4$
Chứng tỏ $d_1 \ge 2d_2-d_3$. Dấu $=$ xảy ra khi nào ?
Bài 3 : Trong một hệ thống máy tính ,một máy tính bất kì có thể kết nối trực tiếp với ít nhất $30$% máy tính khác của hệ thống.Hệ thống này có một chương trình ngăn chặn và cảnh báo khá tốt,do đó khi một máy tính bị virus,nó chỉ đủ thời gian lây virus cho các máy tính  được kết nối trực tiếp với nó . Chứng minh rằng dù vậy ,kẻ tấn công vẫn có thể chọn hai máy tính  của hệ thống   mà nểu thả virus vào hai máy đó ,ít nhất $50$% máy tính  của hệ thống sẽ bị nhiễm virus 
Bài 4 : Cho tam giác nhọn $ABC$,đường tròn $(I)$ có tâm $I$ thuộc cạnh $BC$ và tiếp xúc với các cạnh $AB,AC$ lần lượt tại $E,F$ . Lấy $M,N$ bên trong tứ giác $BCEF$ sao cho $EFNM$ nội tiếp $(I)$ và các đường thẳng $MN,EF,BC$ đồng quy . $MF$ cắt $NE$ tại $P$,$AP$ cắt $BC$ tại $D$ 
a) Chứng minh $A,D,E,F$ cùng thuộc một đường tròn 
b) Trên đường thẳng $BN,CM$ lấy các điểm $H,K$ sao cho $\widehat{ACH}=\widehat{ABK}=90^{o}$. Lấy $T$ là trung điểm $HK$ . Chứng minh $TB=TC$
Nguồn : Thầy Trần Nam Dũng 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 22-09-2016 - 17:16


#2 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 22-09-2016 - 17:33

Đề hình này có bóng dáng của bài IMOSL 1994 G1

 

http://artofproblems...c6h57341p352892



#3 I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học
  • Sở thích:Number theory,Combinatoric

Đã gửi 22-09-2016 - 17:53

 Bài 1 :a) Đặt $k=15m^2-a^2$ . Bài toán đưa về việc tìm $y$ nhỏ nhất để phương trình bên có nghiệm 
$k=0$ suy ra $15m^2=a^2$ vô lí vì $\frac{a}{m}=\sqrt{15} \not \in \mathbb{Q}$ 
$k=1$ ,$1+a^2=15m^2$ dĩ nhiên vô lí vì ta nhắc lại bổ đề quen thuộc sau : 
(+) $p=4k+3 \in \mathbb{P},p|a^2+b^2 \Leftrightarrow p|a,b$ 
$k=2$ thì ta có $2+a^2=15m^2$ vô lí vì $a^2+2 \equiv 1,2,3 \pmod{5}$ 
$k=3$ thì tương tự $k=2$ 
$k=4$ thì ta có $4+a^2=15m^2$ cũng vô lí do $3 \not \mid 2$ 
$k=5$ thì đó ta có $5|a$ nên ta đặt $a=5p$ phương trình được viết lại thành $1+5p^2=3m^2$ nhưng phương trình này cũng vô nghiệm vì $3m^2-1 \equiv 4,2,1 \pmod{5}$ 
$k=6$ thì tồn tại ,giả sử ta chọn một cặp bất kì $m=1,a=3$ lúc đó thỏa điều kiện đề bài cho 
b) $\Delta_d=5(4p+3)q^2-a^2$  
Nếu $\Delta_d=1$ thì vô lí vì theo bổ đề hiển nhiên có $l|1$ ($l$ là ước số nguyên tố thỏa $l \equiv 3 \pmod{4}$ của $4p+3$) 
$\Delta_d=2$ thì tương tự như câu a  
Trường hợp $\Delta_d=3,4$ tương tự 
Do đó $\Delta_d \ge 5$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 22-09-2016 - 17:57


#4 baopbc

baopbc

    Himura Kenshin

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 410 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 22-09-2016 - 17:57

Bài 4 có thể giải như sau.

Post 333.PNG

a, Gọi $X$ là giao điểm của $EM$ với $FN$. Theo định lí $\text{Pascal's}$ thì $P,A,X$ thẳng hàng.

Mặt khác theo định lí $\text{Brocard's}$ thì $PX\perp BC$ nên $AX\perp BC$.

Do đó $D$ là chân đường cao kẻ từ $A$ của $\triangle ABC$. Từ đó các tứ giác $AFDI,AEID$ nội tiếp nên tứ giác $AEDF$ nội tiếp.

Post 334.PNG

b, Gọi $Y$ là giao điểm của $CM,BN$. Do $BC,MN,EF$ đồng quy nên theo định lí $\text{Dersagues's}$ thì $X,Y,A$ thẳng hàng. Do đó $Y$ thuộc $AD$.

Đoạn sau này thì em phải dùng lượng giác. Gọi $R,Q$ lần lượt là hình chiếu của $H,K$ lên $BC$.

Ta có $RB=HB\cdot \sin \angle B,QC=KC\cdot \sin \angle C$.

Do $HB,KC$ cắt nhau tại điểm đối xứng của $A$ qua tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle ABC$ nên theo tính chất đẳng giác thì $AH,AK$ đẳng giác.

Từ đó $HB\cdot \sin \angle B=KC\cdot \sin \angle C$ hay $RB=QC$. Do $TR=TQ$ nên $TB=TC$.



#5 redfox

redfox

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 100 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK - ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:wild animal, furry

Đã gửi 22-09-2016 - 18:24

2b)

-$d_3$: Ta có $t\geq 5$ nên số cách chọn $t$ là $d_3=d-4$.

-$d_2$: Ta có $z\geq 4$, với mỗi $z$, số cách chọn $t$ là $d-z$. Vậy $d_2=\sum_{k=4}^{c}(d-k)=\frac{(c-4)(2d-c+3)}{2}$.

-$d_1$: Ta đếm số phần tử có $y=3$ hoặc $y=4$. Tương tự như tính $d_2$ số phần tử là $\frac{(c-4)(2d-c-3)}{2}+\frac{(c-5)(2d-c-4)}{2}\leq d_1$.

Đánh giá $d_1-2d_2+d_3$ ta được $d_1\geq 2d_2-d_3$. Dấu bằng xảy ra khi $b=4$.

a) Tương tự như trên, $19$ phần tử.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi redfox: 23-09-2016 - 09:23


#6 dn1807

dn1807

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đồi thông n mộ
  • Sở thích:số hẹc, rời rụng, LCD

Đã gửi 22-09-2016 - 18:51

b) Trên đường thẳng $BN,CM$ lấy các điểm $H,K$ sao cho $\widehat{ACH}=\widehat{ABK}=90^{o}$. Lấy $T$ là trung điểm $HK$ . Chứng minh $TB=TC$

gọi BN cắt CM tại X, gọi AY là đường kính (ABC)
cực, đối cực => AX vuông góc BC
AXAY đẳng giác A
Bổ đề: tam giác ABCAPAQ đẳng giác A, BP giao CQ tại X, CP giao BQ tại Y thì AXAY đẳng giác A (từng xuất hiện trong "mỗi tuần một bài toán")
vậy AH, AK đẳng giác A
ta quy về bài toán quen thuộc
cho tam giác ABC , dựng phía ngoài tam giác 2 tam giác vuông đồng dạng ABKACH, gọi M là trung điểm HK. chứng minh MB=MC



#7 vothimyhanh

vothimyhanh

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 16 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên

Đã gửi 23-09-2016 - 19:26

lớp mấy có thể làm ạ?


:wub:  If you don't work hard, you'll end up a zero  :wub: 

                Võ Thị Mỹ Hạnh - THPT Lương Văn Chánh

                 https://www.facebook...100011729533894

 


#8 I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học
  • Sở thích:Number theory,Combinatoric

Đã gửi 23-09-2016 - 21:00

Đáp án cả 2 ngày 
 



#9 bingau04

bingau04

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 7 Bài viết

Đã gửi 08-09-2019 - 14:00

Lớp nào cũng được hết với đk phải thông minh và chăm chỉ thôi.




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh