Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum\sqrt[3]{\frac{c}{b+a}}>\frac{\sqrt[3]{2}}{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 12 trả lời

#1
hanh7a2002123

hanh7a2002123

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 43 Bài viết

1/ Cho a,b,c>0 thỏa mãn: $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\geq 2$CMR: $abc\leq \frac{1}{8}$
2/ Cho a,b >0, thỏa mãn a+b=1. CMR: $(a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2\geq \frac{25}{2}$
3/ Cho a,b,c >0 thỏa mãn: a+b+c+d=1. CMR:
$(a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2+(c+\frac{1}{c})^2+(d+\frac{1}{d})^2\geq \frac{289}{4}$
4/ Cho a,b,c >0. CMR: $\sqrt[3]{\frac{a}{b+c}}+\sqrt[3]{\frac{b}{a+c}}+\sqrt[3]{\frac{c}{b+a}}>\frac{\sqrt[3]{2}}{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hanh7a2002123: 22-09-2016 - 20:22

It is difficult to say what is impossible, for the dream of yesterday is the hope of today and the reality of tomorrow.


#2
thuylinhnguyenthptthanhha

thuylinhnguyenthptthanhha

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 280 Bài viết

1/ Cho a,b,c>0 thỏa mãn: $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\geq 2$CMR: $abc\leq \frac{1}{8}$
 

Ta có $\frac{1}{{a + 1}} \ge 1 - \frac{1}{{b + 1}} + 1 - \frac{1}{{c + 1}} = \frac{b}{{b + 1}} + \frac{c}{{c + 1}} \ge 2\sqrt {\frac{{bc}}{{(b + 1)(c + 1)}}} $
Tương tự 
$=> \frac{1}{{(a + 1)(c + 1)(b + 1)}} \ge 8\sqrt {{{\left( {\frac{{abc}}{{(a + 1)(c + 1)(b + 1)}}}\right)}^2}}\\\$
$Leftrightarrow abc \le \frac{1}{8\end{array}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thuylinhnguyenthptthanhha: 22-09-2016 - 20:25

                          Hang loose  :ukliam2: 


#3
thuylinhnguyenthptthanhha

thuylinhnguyenthptthanhha

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 280 Bài viết

2/ Cho a,b >0, thỏa mãn a+b=1. CMR: $(a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2\geq \frac{25}{2}$
 

TK:

http://math.stackexc...geq-frac252-for


                          Hang loose  :ukliam2: 


#4
loolo

loolo

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 198 Bài viết

1) $\frac{1}{a+1}\geq 1-\frac{1}{b+1}+1-\frac{1}{c+1}=\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\geq 2\sqrt{\frac{bc}{(b+1)(c+1)}}$

Tương tự có: $\frac{1}{b+1}\geq 2\sqrt{\frac{ac}{(a+1)(c+1)}};\frac{1}{c+1}\geq 2\sqrt{\frac{ab}{(a+1)(b+1)}}$

Nhân 3 vế lại với nhau, biến đổi ta có đpcm


 


#5
hanh7a2002123

hanh7a2002123

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 43 Bài viết

1/ Cho a,b,c>0 và t/m: abc=1
CMR: a, $\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{b^3}{(1+a)(1+c)}+\frac{c^3}{(1+b)(1+a)}\geq \frac{3}{4}$
b, $\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(b+a)}\geq \frac{3}{2}$
2/ Cho a,b,c>0 và a+b+c=1
CMR: $\sqrt{a^2+ab+b^2}+\sqrt{b^2+bc+c^2}+\sqrt{c^2+ac+c^2}+\geq \sqrt{3}$
3/ Cho a,b,c >0 thỏa mãn: a+b+c=1. CMR: $(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})\geq 64$
4/ Cho a,b,c,x,y,z>0 thỏa mãn: x+y+z=1 và $\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}=\frac{1}{a+b+c}$

CMR: $\frac{x^4}{a^3}+\frac{y^4}{b^3}+\frac{z^4}{c^3}=\frac{1}{(a+b+c)^3}$

It is difficult to say what is impossible, for the dream of yesterday is the hope of today and the reality of tomorrow.


#6
Cuongpa

Cuongpa

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết

 

1/ Cho a,b,c>0 và t/m: abc=1
CMR: a, $\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{b^3}{(1+a)(1+c)}+\frac{c^3}{(1+b)(1+a)}\geq \frac{3}{4}$

$\frac{a^{3}}{(1+b)(1+c)}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8}\geq \frac{3a}{4}$$\Rightarrow \frac{a^{3}}{(1+b)(1+c)}\geq \frac{3a}{4}-\frac{b+c}{8}-\frac{1}{4}$

Tương tự rồi cộng các bđt ta có: $VT\geq \frac{a+b+c}{2}-\frac{3}{4}\geq \frac{3\sqrt[3]{abc}}{2}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}$

Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c=1$

 

 

3/ Cho a,b,c >0 thỏa mãn: a+b+c=1. CMR: $(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})\geq 64$

Ta có: $1+\frac{1}{a}=1+1+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\geq 4\sqrt[4]{\frac{bc}{a^{2}}}$

Tương tự rồi nhân các bđt tìm được ta có đpcm

Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$


Success doesn't come to you. You come to it.


#7
le truong son

le truong son

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 225 Bài viết

3/ Cho a,b,c >0 thỏa mãn: a+b+c+d=1. CMR:
$(a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2+(c+\frac{1}{c})^2+(d+\frac{1}{d})^2\geq \frac{289}{4}$
 

$\sum (a+\frac{1}{a})^{2}\geq \frac{1}{4}(\sum a+\sum \frac{1}{a})^2\geq \frac{1}{4}(1+\frac{16}{a+b+c+d})^2=\frac{289}{4}$



#8
loolo

loolo

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 198 Bài viết

 

1/ Cho a,b,c>0 và t/m: abc=1
CMR: a, $\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{b^3}{(1+a)(1+c)}+\frac{c^3}{(1+b)(1+a)}\geq \frac{3}{4}$
b, $\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(b+a)}\geq \frac{3}{2}$
2/ Cho a,b,c>0 và a+b+c=1
CMR: $\sqrt{a^2+ab+b^2}+\sqrt{b^2+bc+c^2}+\sqrt{c^2+ac+c^2}+\geq \sqrt{3}$
3/ Cho a,b,c >0 thỏa mãn: a+b+c=1. CMR: $(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})\geq 64$
4/ Cho a,b,c,x,y,z>0 thỏa mãn: x+y+z=1 và $\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}=\frac{1}{a+b+c}$

CMR: $\frac{x^4}{a^3}+\frac{y^4}{b^3}+\frac{z^4}{c^3}=\frac{1}{(a+b+c)^3}$

 

2) $\sum \sqrt{a^{2}+ab+b^{2}}=\sum \sqrt{\frac{3}{4}(a+b)^{2}+\frac{(a-b)^{2}}{4}}\geq \sum \sqrt{\frac{3}{4}(a+b)^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.2(a+b+c)=\sqrt{3}$

Dấu " = " tại $a=b=c=\frac{1}{3}$


 


#9
loolo

loolo

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 198 Bài viết

 

1/ Cho a,b,c>0 và t/m: abc=1
CMR: a, $\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{b^3}{(1+a)(1+c)}+\frac{c^3}{(1+b)(1+a)}\geq \frac{3}{4}$
b, $\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(b+a)}\geq \frac{3}{2}$
2/ Cho a,b,c>0 và a+b+c=1
CMR: $\sqrt{a^2+ab+b^2}+\sqrt{b^2+bc+c^2}+\sqrt{c^2+ac+c^2}+\geq \sqrt{3}$
3/ Cho a,b,c >0 thỏa mãn: a+b+c=1. CMR: $(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})\geq 64$
4/ Cho a,b,c,x,y,z>0 thỏa mãn: x+y+z=1 và $\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}=\frac{1}{a+b+c}$

CMR: $\frac{x^4}{a^3}+\frac{y^4}{b^3}+\frac{z^4}{c^3}=\frac{1}{(a+b+c)^3}$

 

1b) $\sum \frac{1}{a^{3}(b+c)}=\sum \frac{abc}{a^{3}(b+c)}=\sum \frac{\frac{1}{a^{2}}}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}$

$(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c})\rightarrow (x;y;z)$; ta có: $xyz=1$

$\sum \frac{x^{2}}{y+z}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{2(x+y+z)}=\frac{x+y+z}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\frac{3}{2}$


 


#10
thuylinhnguyenthptthanhha

thuylinhnguyenthptthanhha

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 280 Bài viết

 

4/ Cho a,b,c,x,y,z>0 thỏa mãn: x+y+z=1 và $\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}=\frac{1}{a+b+c}$

CMR: $\frac{x^4}{a^3}+\frac{y^4}{b^3}+\frac{z^4}{c^3}=\frac{1}{(a+b+c)^3}$

 

Từ giải thiết, áp dụng BĐT Bunhia... dạng phân thức dễ dàng suy ra $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=\frac{1}{3(a+b+c)}$

$=>x=\frac{a}{3(a+b+c)};y=.....;z=......$

và $\frac{x^3}{a^3}=\frac{y^3}{b^3}=\frac{z^3}{c^3}$

Sau đó thay vào $VT$(sau khi tách $\frac{x^4}{a^3}=x.\frac{x^3}{a^3})$ ta suy ra đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thuylinhnguyenthptthanhha: 26-09-2016 - 17:58

                          Hang loose  :ukliam2: 


#11
Zz Isaac Newton Zz

Zz Isaac Newton Zz

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 392 Bài viết

4/ Cho a,b,c,x,y,z>0 thỏa mãn: x+y+z=1 và $\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}=\frac{1}{a+b+c}$

CMR: $\frac{x^4}{a^3}+\frac{y^4}{b^3}+\frac{z^4}{c^3}=\frac{1}{(a+b+c)^3}$

 

Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ thì ta có $\frac{x^{2}}{a}+\frac{y^{2}}{b}+\frac{z^{2}}{c}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{a+b+c}=\frac{1}{a+b+c}.$ Mà dấu bằng xảy ra nên ta phải có $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=\frac{x+y+z}{a+b+c}=\frac{1}{a+b+c}=k$ ( với $k$ là một số dương) (1)

Suy ra: $\left\{\begin{matrix} x=ka & & & \\ y=kb & & & \\ z=kc & & & \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{4}=k^{4}a^{4} & & & \\ y^{4}=k^{4}b^{4} & & & \\ z^{4}=k^{4}c^{4} & & & \end{matrix}\right.$

Ta có: $\frac{x^{4}}{a^{3}}+\frac{y^{4}}{b^{3}}+\frac{z^{4}}{c^{3}}=\frac{k^{4}a^{4}}{a^{3}}+\frac{k^{4}b^{4}}{b^{3}}+\frac{k^{4}c^{4}}{c^{3}}=k^{4}(a+b+c)$ (2)

Từ (1) suy ra $k^{4}=\frac{1}{(a+b+c)^{4}}$ (3)

Thế (3) vào (2) ta được $\frac{x^{4}}{a^{3}}+\frac{y^{4}}{b^{3}}+\frac{z^{4}}{c^{3}}=\frac{1}{(a+b+c)^{3}}.$



#12
Zz Isaac Newton Zz

Zz Isaac Newton Zz

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 392 Bài viết

Từ giải thiết, áp dụng BĐT Bunhia... dạng phân thức dễ dàng suy ra $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=\frac{1}{3(a+b+c)}$

$=>x=\frac{a}{3(a+b+c)};y=.....;z=......$

và $\frac{x^3}{a^3}=\frac{y^3}{b^3}=\frac{z^3}{c^3}$

Sau đó thay vào $VT$(sau khi tách $\frac{x^4}{a^3}=x.\frac{x^3}{a^3})$ ta suy ra đpcm.

Chỗ này bị sai rồi nha bạn...



#13
Kamii0909

Kamii0909

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 157 Bài viết

1/ Cho a,b,c>0 thỏa mãn: $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\geq 2$CMR: $abc\leq \frac{1}{8}$
2/ Cho a,b >0, thỏa mãn a+b=1. CMR: $(a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2\geq \frac{25}{2}$
3/ Cho a,b,c >0 thỏa mãn: a+b+c+d=1. CMR:
$(a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2+(c+\frac{1}{c})^2+(d+\frac{1}{d})^2\geq \frac{289}{4}$
4/ Cho a,b,c >0. CMR: $\sqrt[3]{\frac{a}{b+c}}+\sqrt[3]{\frac{b}{a+c}}+\sqrt[3]{\frac{c}{b+a}}>\frac{\sqrt[3]{2}}{2}$

Ta có bất đẳng thức sau với mọi a,b,c không âm

$\sum \sqrt[3]{\frac{a}{b+c}}\geq \sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq 2$

Dấu bằng xảy ra khi 1 biến =0 và 2 biến còn lại bằng nhau






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh