Chủ đề này có 1 trả lời

[SKT T1 SPAK]

Cho a,b nguyên dương, $(a,b)=1$ thoả mãn $a^{n}+b^{n} \mid a^{m}+b^{m}$. CMR:

                                                  $n\mid m$

P/s:bài này mình post rồi nhưng vẫn chưa có lời giải!    

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SKT T1 SPAK: 22-09-2016 - 22:07

[vpvn]

giả thiết \Rightarrow m>n ,giả sử a>b

đặt m=kn+r(k>0,0\leq r<n).

nếu k lẻ:

Ta có   aⁿ+bⁿ | a^kn+b^kn.

do(a,b)=1 \Rightarrow (a,aⁿ+bⁿ)=1 \Rightarrow aⁿ+bⁿ | a^r(a^kn+b^kn) kết hợp với giả thiết \Rightarrow aⁿ+bⁿ | (a^r-b^r)b^kn

lại có (b^kn,aⁿ+bⁿ)=1 \Rightarrow aⁿ+bⁿ | a^r-b^r

\Rightarrow r=0\Rightarrow n | m . 

nếu k chẵn :

khi đó  aⁿ+bⁿ | a^(k-1)n+b^(k-1)n và (a^n+r,aⁿ+bⁿ)=1  \Rightarrow aⁿ+bⁿ | a^n+r(a^(k-1)n+b^(k-1)n) kết hợp với giả thiết 

\Rightarrow aⁿ+bⁿ | (a^n+r-b^n+r)b^(k-1)n \Rightarrow aⁿ+bⁿ | a^n+r-b^n+r =(aⁿ+bⁿ)(a^r-b^r)+(ab)^r(a^n-r-b^n-r) lại có ((ab)^r,aⁿ+bⁿ)=1

\Rightarrow aⁿ+bⁿ | a^n-r-b^n-r \Rightarrow n=r hay n | m

Vậy n|m