Chủ đề này có 3 trả lời

[trungdung19122002]

Cho $a, b, c > 0$ thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng: $\frac{1}{(1+a)^{2}}+\frac{1}{(1+b)^{2}}+\frac{1}{(1+c)^{2}}+\frac{2}{(1+a)(1+b)(1+c)}\geqslant 1$

[Namvip]

Đặt $a=\frac{yz}{x^{2}};b=\frac{xz}{y^{2}};c=\frac{xy}{z^{2}}$

BĐT $<=>\sum \frac{x^{4}}{(x^{2}+yz)^{2}}+\frac{2(xyz)^{2}}{\prod (x^{2}+yz)}\geq 1$

Ta có 

$(x^{2}+y^{2})(x^{2}+z^{2})\geq (x^{2}+yz)^{2}$

CMTT 

$=>\prod (x^{2}+y^{2})\geq \prod (x^{2}+yz)$

=>$\frac{2(xyz)^{2}}{\prod (x^{2}+yz)}\geq \frac{2(xyz)^{2}}{\prod (x^{2}+y^{2})}$

Lại có 

$\sum \frac{x^{4}}{(x^{2}+yz)^{2}}\geq \sum \frac{x^{4}}{(x^{2}+y^{2})(x^{2}+z^{2})}=1-\frac{2(xyz)^{2}}{\prod (x^{2}+y^{2})}$

=>$\sum \frac{x^{4}}{(x^{2}+yz)^{2}}+\frac{2(xyz)^{2}}{\prod (x^{2}+yz)}\geq 1$

[KietLW9]

Theo nguyên lý Dirichlet thì trong 3 số $a-1;b-1;c-1$ tồn tại ít nhất hai số cùng dấu, giả sử đó là $a-1$ và $b-1$ thì $(a-1)(b-1)\geqslant 0\Leftrightarrow a+b\leqslant ab+1=\frac{1}{c}+1=\frac{c+1}{c}$

Do vậy: $\frac{1}{(1+a)^{2}}+\frac{1}{(1+b)^{2}}+\frac{1}{(1+c)^{2}}+\frac{2}{(1+a)(1+b)(1+c)}\geqslant \frac{2}{(1+a)(1+b)}+\frac{2}{(1+a)(1+b)(1+c)}+\frac{1}{(1+c)^2}=\frac{2(c+2)}{(a+1)(b+1)(c+1)}+\frac{1}{(c+1)^2}=\frac{2(c+2)}{(ab+a+b+1)(c+1)}+\frac{1}{(c+1)^2}\geqslant \frac{2(c+2)}{(\frac{1}{c}+\frac{c+1}{c}+1)(c+1)}+\frac{1}{(c+1)^2} =\frac{c(c+2)}{(c+1)^2}+\frac{1}{(c+1)^2}=1$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

[KietLW9]

Đặt $a+b+c=p;ab+bc+ca=q;abc=r$ thì $r=1$ và $(a+1)(b+1)(c+1)=p+q+2$

Do đó $\frac{1}{(1+a)^{2}}+\frac{1}{(1+b)^{2}}+\frac{1}{(1+c)^{2}}+\frac{2}{(1+a)(1+b)(1+c)}\geqslant 1\Leftrightarrow (\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1})^2-2[\frac{1}{(a+1)(b+1)}+\frac{1}{(b+1)(c+1)}+\frac{1}{(c+1)(a+1)}]+\frac{2}{(1+a)(1+b)(1+c)}\geqslant 1\Leftrightarrow (\frac{q+2p+3}{q+p+2})^2-\frac{2(p+3)}{p+q+2}+\frac{2}{p+q+2}\geqslant 1\Leftrightarrow (1+\frac{p+1}{q+p+2})^2-\frac{2(p+3)}{p+q+2}+\frac{2}{p+q+2}\geqslant 1\Leftrightarrow 1+(\frac{p+1}{p+q+2})^2-\frac{2}{p+q+2}\geqslant 1\Leftrightarrow (p+1)^2\geqslant 2(p+q+2)\Leftrightarrow p^2\geqslant 2q+3(true)$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 05-05-2021 - 19:32