Ngày 2.
Bài 1. Tìm $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ thỏa mãn :
\[2f(x)\cdot f(x+y)-f(x^2)=\frac{1}{2}x(f(2x)+4f(f(y)))\]
Nếu $f$ là hàm hằng, dễ có $f(x)=0, \forall x$ thoả mãn.
Xét $f$ khác hằng.
Từ pt đầu cho $x=0$ ta được $f(0)(2f(y)-1)=0, \forall y$
$f$ không hằng nên $f(0)=0$
Lại cho $y=0$ thì $\dfrac{xf(2x)}{2}+f(x^2)=2f^2(x)$
Thế đẳng thức này lại phương trình đầu thì $f(x)f(x+y)=f(x)^2+xf(f(y)),\forall x,y$
Ta kí hiệu $P(x,y)$ là phép thế $(x,y)$ cho phương trình này.
Nếu $\exists a \neq 0, f(a)=0$.
$P(a,y):af(f(y))=0$, tức $(f(f(x))=0, \forall x$
$P(x,f(x)-x): f(x)^2=0,\forall x$ nên $f(x)=0, \forall x$
Có nghĩa $f$ là hàm hằng(loại)
Vậy $f(x)=0 \Leftrightarrow x=0$
Xét $x,y \neq 0$.
$P(x,1):f(x+1)=f(x)+\dfrac{x \cdot f(f(1))}{f(x)}$
$P(x,2):f(x+2)=f(x)+\dfrac{x \cdot f(f(2))}{f(x)}$
$P(x+1,1):f(x+2)=f(x+1)+\dfrac{(x+1)f(f(1))}{f(x+1)}=f(x)+\dfrac{x \cdot f(f(1))}{f(x)}+\dfrac{(x+1)f(f(1))f(x)}{f^2(x)+xf(f(1))}$
Từ 2 đẳng thức trên suy ra
$$f^2(x)( xf(f(1))+2f(f(1))-f(f(2)) )=x^2 f(f(1))( f(f(2))-f(f(1)) ) (1)$$
Giả sử $\dfrac{f(f(2))}{f(f(1))}=k \neq 2$
Từ đẳng thức trên cho $x = k-2$ sẽ được $(k-2)^2 \cdot f(f(1))^2 \cdot (k-1)=0$
Cho ta $f(f(2))=f(f(1)$
Khi đó $(1)$ tương đương $f^2(x) \cdot f(f(1)) \cdot (x+1)=0, \forall x \neq 0$
Chọn $x \neq 0,-1$ ta suy ra mâu thuẫn.
Vậy $f(f(2))=2f(f(1))$
Do đó $f^2(x)=f(f(1))x^2$
Cho $x=1$ thì $f(f(1))=f(1)^2$, suy ra $f^2(x)=x^2 f(1)^2,\forall x \neq 0$
Kết hợp với $f(0)=0$ cho ta $f^2(x)=x^2 f(1)^2=c^2 x^2,\forall x$
Giả sử $ \exists a,b \neq 0,f(a)=ac,f(b)=-bc$
$P(a,y-a)-P(b,y-a):f(y)+f(y+b-a)=ca-cb (2)$
Tại $(2)$ cho $y=0$ thì $f(b-a)=ca-cb$
Cho $y=b-a$ thì $f(2b-2a)=0 \Leftrightarrow a=b$
Từ đó ta có $a=b=0$(mâu thuẫn)
Vậy $f(x)=cx,\forall x$ hoặc $f(x)=-cx,\forall x$.
Cả 2 đều dẫn đến $f(x)=ax, \forall x$
Thay hàm này vào pt đầu thì $a=0,a=1$.
Thử lại 2 hàm $f(x)=0, \forall x$ và $f(x)=x,\forall x$ đều TM.
Kết luận...
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kamii0909: 27-09-2017 - 00:31