Chủ đề này có 2 trả lời

[khacquocpro]

Cho x,y,z là các số nguyên và

 

$\left\{\begin{matrix} P=(x+2014)^{5}+(2y-2015)^{5}+(3z+2016)^{5} & & \\ S=x+2y+3z+2015 & & \end{matrix}\right.$

 

Chứng minh $P\vdots30$ khi và chỉ khi $S\vdots30$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kimchitwinkle: 26-09-2016 - 01:34

[basketball123]

Cho x,y,z là các số nguyên và

 

$\left\{\begin{matrix} P=(x+2014)^{5}+(2y-2015)^{5}+(3z+2016)^{5} & & \\ S=x+2y+3z+2015 & & \end{matrix}\right.$

 

Chứng minh $P\vdots30 khi và chỉ khi S\vdots30$

Đặt $a=x+2014;b=2y-2015;c=3z+2016\Rightarrow P=a^{5}+b^{5}+c^{5};S=a+b+c$

Xét $P-S=a^{5}+b^{5}+c^{5}-(a+b+c)$

Xét riêng $a^{5}-a=(a-2)(a-1)a(a+1)(a+2)+5(a-1)a(a+1)$

Ta có $(a-2)(a-1)a(a+1)(a+2)$ là tích 5 số nguyên liên tiếp nên $(a-2)(a-1)a(a+1)(a+2)$ chia hết cho 2;3;5 và $5(a-1)a(a+1)$ cũng chia hết cho 2;3;5 hay chia hết cho 30

$\Rightarrow P-S\vdots 30;S\vdots 30\Rightarrow P\vdots 30$

[Namvip]

CM $a^{5}+b^{5}+c^{5}$ chia hết cho 5 ta có thể dùng cách sau 

Theo định lý Ferma ta có 

$a^{5}\equiv a$(mod 5)

$b^{5}\equiv b$(mod 5)

$c^{5}\equiv c$(mod 5)

mà a + b + c chia hết cho 5 => $a^{5}+b^{5}+c^{5}$ chia hết cho 5