Cho đường tròn $(C_1):x^2+y^2=25$, điểm $M(1;-2)$. Đường tròn $(C2)$ có bán kính bằng $2\sqrt{10}$. Tìm tọa độ tâm của $(C_2)$ sao cho $(C_2)$ cắt $(C_1)$ theo một dây cung qua M có độ dài nhỏ nhất.
Tìm tọa độ tâm của $(C_2)$ cắt $(C_1)$ theo một dây cung qua M có độ dài nhỏ nhất.
#1
Đã gửi 26-09-2016 - 21:13
#2
Đã gửi 26-09-2016 - 23:22
Gọi $C_1,C_2$ tâm $(C_1),(C_2).$ Cách xác định điểm $C_2:$
B1: Tìm tọa độ $C_1.$
B2: Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua $M$ và vuông góc với $MC_1.$
B3: Tìm tọa độ $P,Q$ là giao điểm của $d,(C_1).$
B4: $C_2$ sẽ là điểm cách $P,Q$ cùng 1 đoạn bằng $2 \sqrt{10}.$ Có hai điểm $C_2$ như vậy.
Sự học như con thuyền ngược dòng nước, không tiến ắt phải lùi.
#3
Đã gửi 27-09-2016 - 19:12
Gọi $C_1,C_2$ tâm $(C_1),(C_2).$ Cách xác định điểm $C_2:$
B1: Tìm tọa độ $C_1.$
B2: Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua $M$ và vuông góc với $MC_1.$
B3: Tìm tọa độ $P,Q$ là giao điểm của $d,(C_1).$
B4: $C_2$ sẽ là điểm cách $P,Q$ cùng 1 đoạn bằng $2 \sqrt{10}.$ Có hai điểm $C_2$ như vậy.
Mình cũng biết vậy rồi nhưng vấn đề là chứng minh cho M nằm trên đường nối tâm thì cung có độ dài ngắn nhất. Bạn ạ?
#4
Đã gửi 27-09-2016 - 19:35
Mình cũng biết vậy rồi nhưng vấn đề là chứng minh cho M nằm trên đường nối tâm thì cung có độ dài ngắn nhất. Bạn ạ?
Như vậy ta phải chứng minh một bổ đề nhỏ như sau:
Bổ đề: Cho $(O),M$ là một điểm nằm trong $(O).$ Chứng minh rằng trong các dây cung của $(O)$ mà đi qua $M,$ dây cung có độ dài ngắn nhất chính là dây cung vuông góc với $OM.$
Chứng minh: Gọi $AB$ là dây cung của $(O)$ đi qua $M$ và vuông góc $OM.$ Hiển nhiên $M$ là trung điểm $AB.$
Gọi $A'B'$ là một dây cung khác $AB$ của $(O)$ đi qua $M.$ Gọi $M'$ là trung điểm $A'B'$ thì $OM' \perp A'B'.$
Xét $\Delta OM'M$ vuông tại $M' \Rightarrow OM>OM' \Rightarrow AB=2AM=2. \sqrt{OA^2-OM^2}<2. \sqrt{OA'^2-OM'^2}=2A'M'=A'B'.$
Vậy mọi dây cung của $(O)$ đi qua $M$ khác $AB$ đều dài hơn $AB,$ suy ra $AB$ là dây cung của $(O)$ đi qua $M$ có độ dài ngắn nhất. Ta hoàn tất chứng minh.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 27-09-2016 - 19:35
- Truong Gia Bao và thang1308 thích
Sự học như con thuyền ngược dòng nước, không tiến ắt phải lùi.
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh