Chủ đề này có 1 trả lời

[minh hai nguyen]

Cho $x, y, z>  0$ và $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$

Chứng minh rằng : $\frac{1}{\sqrt{x^{2}+xy}}+\frac{1}{\sqrt{y^{2}+xy}}+\frac{2\sqrt{3}}{1+z}\geq \frac{8\sqrt{3}}{3}.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zz Isaac Newton Zz: 29-10-2017 - 10:02

[Senju Hashirama]

Ta có : $\frac{1}{\sqrt{x^{2}+xy}}+\frac{1}{\sqrt{y^{2}+xy}}\geq \frac{4}{\sqrt{x^{2}+xy}+\sqrt{y^{2}+xy}} \geq \frac{2}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{2}{\sqrt{1-z^{2}}}$

$\Rightarrow LHS\geq \frac{2}{\sqrt{1-z^{2}}}+\frac{2\sqrt{3}}{1+z}\geq \frac{8\sqrt{3}}{7-4z^{2}}+\frac{2\sqrt{3}}{1+z}$

                     $=\frac{8\sqrt{3}}{3}+ \frac{2\sqrt{3}\left ( 2z-1 \right )^{2}\left ( 4z+5 \right )}{3\left ( 7-4z^{2} \right )\left ( 1+z \right )}\geq \frac{8\sqrt{3}}{3}$

 Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=\sqrt{\frac{3}{8}},z=\frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Senju Hashirama: 29-09-2016 - 19:35