Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$a^2+7b^2=3c^2+2cd+5d^2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 nh0znoisung

nh0znoisung

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 20 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên LTV Đồng Nai
  • Sở thích:Học Toán

Đã gửi 27-09-2016 - 07:31

Tìm tất cả các bộ ngiệm nguyên $(a,b,c,d)$ thõa mãn:

$a^2+7b^2=3c^2+2cd+5d^2$



#2 I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1864 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học
  • Sở thích:Number theory,Combinatoric

Đã gửi 12-10-2016 - 20:12

Biến đổi phương trình về thành $3a^2-x^2=7(2d^2-3b^2),x=3c+d$ 
Một số chính phương chia $7$ thì nhận số dư là $0,1,2,4$ mà $7|3a^2-x^2$ nên $7|a,7|x$ 
Suy ra $7|2d^2-3b^2$ tương tự ta cũng có $7|d,7|b$ . Giả sử phương trình có nghiệm khác $(0,0,0,0)$
Đặt $a_1,b_1,x_1,d_1$ là nghiệm có $|a_1|+..+|d_1|$ nhỏ nhất ,tương tự ta cũng có $7|a_1,..,7|d_1$ hay $a_2=\frac{a_1}{7},...,d_2=\frac{d_1}{7}$ cũng là nghiệm của phương trình . Điều này dẫn đến vô lí vì $|a_1|+..+|d_1|>|a_2|+...+|d_2|$ . Do đó $a=b=c=d=0$ 






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh