2 replies to this topic

[Kun Kyo]

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA ĐAK LAK 2016. VÒNG 1

Câu I: 

Cho đa thức $f(x)$ có 3 nghiệm phân biệt $x_1<x_2<x_3$.

Hai số thực m,n thỏa mãn $m^2>4n$. Chứng minh rằng phương trình :

$$f''(x) + mf'(x)+nf(x)=0$$

có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng $(x_1;x_3)$.
Câu II: 

Tìm số dương $k$ lớn nhất thỏa mãn

$$(a+b+c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}-k)\geq k$$,

với $a,b,c$ là các số thực không âm,không đồng thời bằng 0 thỏa mãn $a+b+c=ab+bc+ca$.
Câu III:

 Cho tứ giác có chu vi bằng $4$.

Xác định tứ giác để nó có diện tích lớn nhất. Tìm diện tích lớn nhất đó.
Câu IV:

 Cho đa thức $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$.

Chứng minh rằng, nếu tồn tại $m\in\mathbb{N*}$ sao cho

$$\frac{a_0}{m}+\frac{a_1}{m+1}+\frac{a_2}{m+2}+...+\frac{a_n}{m+n}=0$$

thì $f(x)=0$ có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng $(0;1)$.

Edited by Kun Kyo, 30-09-2016 - 11:17.

[superpower]

\

Câu 2: Tìm số dương $k$ lớn nhất thỏa mãn $(a+b+c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}-k)\geq k$, với $a,b,c$ là các số thực không đồng thời bằng 0 thỏa mãn $a+b+c=ab+bc+ca$.
 

Thay $c=0, a=b=2  => k \leq 1 $

Ta chứng minh $k =1 $ thỏa 

Khi $k=1$, ta cần chứng minh

$(a+b+c)(\frac{1}{a+b} + \frac{1}{a+c} + \frac{1}{b+c} -1 ) \geq 1 $

Quy đồng và chuyển pqr, ta cần chứng minh 

$p . ( \frac{p^2+p}{pq-r} -1) \geq 1 $ 

Mà do $r \geq 0 $

Nên ta chỉ cần chứng minh 

$p(\frac{p^2+p}{p^2} -1 ) \geq 1$

Mà thật ra đây chi là đẳng thức

Do đó ta có đpcm 

Edited by superpower, 27-09-2016 - 19:23.

[kocoten]

câu 1 giải sao vậy mn?