Chủ đề này có 1 trả lời

[kunkon2901]

Bài 1: cho số $\alpha \in (0;\pi )$. tìm hàm số f xác định trên R thỏa:

$f(x)-2f(x.cos\alpha )+f(xcos^{2}\alpha )=x^{2} \forall x\in R$

bài 2: tìm hàm số f xác định trên R thỏa: $f(x+y).f(x-y)-(x-y)f(x+y)=2(x^2-y^2)cosx.siny \forall x;y\in R$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kunkon2901: 28-09-2016 - 01:18

[HoaiBao]

Bài 1: cho số $\alpha \in (0;\pi )$. tìm hàm số f xác định trên R thỏa:

$f(x)-2f(x.cos\alpha )+f(xcos^{2}\alpha )=x^{2} \forall x\in R$

bài 2: tìm hàm số f xác định trên R thỏa: $f(x+y).f(x-y)-(x-y)f(x+y)=2(x^2-y^2)cosx.siny \forall x;y\in R$

Bài 1: Ta có: $f(x.cos^2\alpha)-2f(x.cos\alpha)+f(x)=x^2 \qquad \forall x \in \mathbb{R}$

$f(x.cos^2\alpha)-f(x.cos\alpha)-[f(x.cos\alpha)-f(x)]=x^2 \qquad \forall x \in \mathbb{R}$

Đặt $f(x.cos\alpha)-f(x)=g(x) \qquad \forall x\in \mathbb{R}$ thay vào:

$g(x.cos\alpha)-g(x)=x^2 \qquad \forall x \in \mathbb{R}$

$g(x.cos\alpha)-g(x)=\frac{1-cos^{2}\alpha}{sin^{2}\alpha}.x^2 \qquad \forall x \in \mathbb{R}$

$g(x.cos\alpha)+\frac{cos^{2}\alpha}{sin^{2}\alpha}.x^2-[g(x)+\frac{1}{sin^{2}\alpha}.x^2]=0 \qquad \forall x \in \mathbb{R}$

Đặt $g(x)+\frac{1}{sin^{2}\alpha}.x^2=h(x)\qquad \forall x\in \mathbb{R}$

$h(x.cos\alpha)=h(x) \qquad \forall x \in \mathbb{R}$

Do đó: $h(x)$ là hàm số nhân tính tuần hoàn chu kì $cos\alpha$ trên $\mathbb{R}$

Suy ra: $f(x.cos\alpha)-f(x)=h(x)-\frac{1}{sin^{2}\alpha}.x^2 \qquad \forall x\in \mathbb{R}$

$f(x.cos\alpha)-log_{cos\alpha}|x.cos\alpha|.h(x.cos\alpha)-[f(x)-log_{cos\alpha}|x|.h(x)]=-\frac{1}{sin^{2}\alpha}.x^2 \qquad \forall x \in \mathbb{R}$

Đặt $f(x)-log_{cos\alpha}|x|.h(x)=t(x) \qquad \forall x\in \mathbb{R}$

$t(x.cos\alpha)-t(x)=-\frac{1}{sin^{2}\alpha}.x^2 \qquad \forall x \in \mathbb{R}$

$t(x.cos\alpha)-\frac{cos^{2}\alpha}{sin^{4}\alpha}.x^2-[t(x)-\frac{1}{sin^{4}\alpha}.x^2]=0 \qquad \forall x \in \mathbb{R}$

Đặt $t(x)-\frac{1}{sin^{4}\alpha}.x^2=\phi(x) \qquad \forall x \in \mathbb{R}$

Suy ra: $\phi(x.cos\alpha)=\phi(x) \qquad \forall x\in \mathbb{R}$

Do đó $\phi(x)$ là hàm số nhân tính tuần hoàn chu kì $cos\alpha$ trên $\mathbb{R}$

 

Vậy $f(x)=log_{cos\alpha}|x|.h(x)+\phi(x)+\frac{1}{sin^{4}\alpha}.x^2 \qquad \forall x\in \mathbb{R}$

Trong đó:  $h(x)$ là hàm số nhân tính tuần hoàn chu kì $cos\alpha$ trên $\mathbb{R}$

                 $\phi(x)$ là hàm số nhân tính tuần hoàn chu kì $cos\alpha$ trên $\mathbb{R}$

 

Bài 2: Giả sử tồn tại hàm số $f$ thỏa mản yêu cầu bài toán.

Chọn $y=0$ được: $f^{2}(x)-xf(x)=0 \qquad \forall x\in \mathbb{R}$

Suy ra; $f(x)=0$ hoặc $f(x)=x$ Thay lại thấy không thỏa yêu cầu.

Dó đó không tồn tại hàm số $f$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mản bài toán.