Trong mp Oxy cho $B(-3;0);C(3;0)$. Điểm $A$ di động trong mặt phẳng Oxy sao cho tam giác $ABC$ thỏa mãn: độ dài đường cao kẻ từ đỉnh $A$ tới $BC$ bằng $3$ lần bán kính đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác $ABC$. Chứng minh khi $A$ thay đổi (vẫn thỏa mãn điều kiện bài toán) thì điểm $I$ thuộc một đường cong cố định.
Chứng minh khi $A$ thay đổi (vẫn thỏa mãn điều kiện bài toán) thì điểm $I$ thuộc một đường cong cố định.
#1
Đã gửi 28-09-2016 - 17:14
#2
Đã gửi 30-09-2016 - 18:12
Trong mp Oxy cho $B(-3;0);C(3;0)$. Điểm $A$ di động trong mặt phẳng Oxy sao cho tam giác $ABC$ thỏa mãn: độ dài đường cao kẻ từ đỉnh $A$ tới $BC$ bằng $3$ lần bán kính đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác $ABC$. Chứng minh khi $A$ thay đổi (vẫn thỏa mãn điều kiện bài toán) thì điểm $I$ thuộc một đường cong cố định.
$BC$ là trục $Ox$
Gọi $I(x;y), IK\perp BC$ thì $K(x;0)$.
Ta có:
$$\begin{align*} S=\dfrac{1}{2}AH.BC&=pr\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}r.BC&=\dfrac{AB+BC+CA}{2}.r\\ \Leftrightarrow AB+AC&=2BC\\ \Leftrightarrow \sin C+\sin B&=2\sin A\\ \Leftrightarrow 2\cos \dfrac{A}{2}.\cos \dfrac{B-C}{2}&=4sin \dfrac{A}{2}.\cos \dfrac{A}{2}\\ \Leftrightarrow \cos \dfrac{B-C}{2}&=2\cos \dfrac{B+C}{2}\\ \Leftrightarrow \cos \dfrac{B}{2}.\cos \dfrac{C}{2}+\sin \dfrac{B}{2}.\sin \dfrac{C}{2}&=2\left [ \cos \dfrac{B}{2}.\cos \dfrac{C}{2}-\sin \dfrac{B}{2}.\sin \dfrac{C}{2} \right ]\\ \Leftrightarrow \cos \dfrac{B}{2}.\cos \dfrac{C}{2}&=3\sin \dfrac{B}{2}.\sin \dfrac{C}{2}\\ \Leftrightarrow \tan \dfrac{B}{2}.\tan \dfrac{C}{2}&=\dfrac{1}{3}\\ \Leftrightarrow \dfrac{IK}{BK}.\dfrac{IK}{CK}&=\dfrac{1}{3}\\ \Leftrightarrow 3IK^2&=BK.CK\\ \Leftrightarrow 3y^2&=|x+3|.|x-3|\\ \Leftrightarrow 3y^2&=9-x^2 \text{(Do -3<x<3)}\\ \Leftrightarrow \boxed{\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{3}=1}\end{align*}$$
- 5S online yêu thích
1- Tính toán http://www.wolframalpha.com
2- Ghé thăm tôi tại https://www.facebook...ang.truong.1999
3- Blog của tôi: http://truongviethoang99.blogspot.com/
4- Nội quy của Diễn đàn Toán học - Cách đặt tiêu đề cho bài viết. - Cách gõ $\LaTeX$ trên diễn đàn - [Topic]Hỏi đáp về việc Vẽ Hình!
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh