Chủ đề này có 1 trả lời

[ilovezu123]

với x,y,z>0, x+y+z=3 chứng minh

$\sum \frac{x^2-1}{2x^2-4x+3}$$\geqslant 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ilovezu123: 28-09-2016 - 22:49

[Senju Hashirama]

Ta có : $\frac{x^{2}-1}{2x^{2}-4x+3}+\frac{1}{2}=\frac{\left ( 2x-1 \right )^{2}}{2\left (2x^{2}-4x+3 \right )}$

 Từ đó ta viết lại bất đẳng thức thành : 

  $\frac{\left ( 2x-1\right )^{2}}{2x^{2}-4x+3}+\frac{\left ( 2y-1\right )^{2}}{2y^{2}-4y+3}+\frac{\left ( 2z-1\right )^{2}}{2z^{2}-4z+3}\geq 3$

Áp dụng BĐT $ Cauchy - Schwarz$ , ta có : 

 $\frac{\left ( 2x-1 \right )^{2}}{2x^{2}-4x+3}+\frac{\left ( 2y-1 \right )^{2}}{2y^{2}-4y+3}\geq \frac{4\left ( 2-z \right )^{2}}{\left ( 2x^{2}-4x+3 \right )+\left ( 2y^{2}-4y+3 \right )}  $

 Ta sẽ chứng minh :  $\frac{4\left ( 2-z \right )^{2}}{\left ( 2x^{2}-4x+3 \right )+\left (2y^{2}-4y+3 \right )}+\frac{\left ( 2z-1 \right )^{2}}{2z^{2}-4z+3}\geq 3$

   $\Leftrightarrow\frac{4\left ( 2-z \right )^{2}}{\left ( 2x^{2}-4x+3 \right )+\left ( 2y^{2}-4y+3 \right )} \geq \frac{2\left ( 2-z \right )^{2}}{2z^{2}-4z+3}\Leftrightarrow 2\left (2z^{2}-4z+3 \right )\geq \left ( 2x^{2}-4x+3 \right )+\left ( 2y^{2}-4y+3 \right )$

 Làm tương tự với $x,y$

 Lại có : $\sum \left [ 2\left (2z^{2}-4z+3 \right )- \left ( 2x^{2}-4x+3 \right )-\left ( 2y^{2}-4y+3 \right ) \right ]=0$

 Điều này dẫn tới luôn tồn tại 1 BĐT đúng 

 Từ ta có $Q.E.D$ . Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$