Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum_{k=1}^{n}k^{3}=\left ( \sum_{k=1}^{n}k \right )^{2}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết

Chứng minh rằng: $\sum_{k=1}^{n}k^{3}=\left ( \sum_{k=1}^{n}k \right )^{2}$


"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#2
dat9adst20152016

dat9adst20152016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 174 Bài viết

Chứng minh rằng: $\sum_{k=1}^{n}k^{3}=\left ( \sum_{k=1}^{n}k \right )^{2}$

   Nhìn đề là nghĩ ngay tới phương pháp quy nạp :icon6: 

Giả sử đẳng thức đúng tới n=x (x nguyên dương) thì ta có:

     $\sum_{1}^{x}k^{3}=(\sum_{1}^{x}k)^{2}$

 Ta phải chứng minh đẳng thức đúng với n=x+1, tức là:

     $\sum_{k=1}^{x+1}k^{3}=(\sum_{k=1}^{x+1}k)^{2}\Leftrightarrow \sum_{k=1}^{x}k^{3}+(x+1)^{3}=(\sum_{k=1}^{x}k)^{2}+(x+1)^{2}+2(x+1)(\sum_{k= 1}^{x}k)\Leftrightarrow (x+1)^{3}=(x+1)^{2}+2(x+1)\cdot \frac{x(x+1)}{2}\Leftrightarrow (x+1)^{3}=(x+1)^{3}$  (luôn đúng)

 Do đó theo quy nạp ta có đpcm


     Ví như dòng sông nào cũng bắt nguồn từ những con suối nhỏ, mỗi bài toán dù khó đến đâu cũng có nguồn gốc từ những bài toán đơn giản, có khi rất quen thuộc đối với chúng ta.
                                              -G. Polya-


#3
DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết

   Nhìn đề là nghĩ ngay tới phương pháp quy nạp :icon6: 

Giả sử đẳng thức đúng tới n=x (x nguyên dương) thì ta có:

     $\sum_{1}^{x}k^{3}=(\sum_{1}^{x}k)^{2}$

 Ta phải chứng minh đẳng thức đúng với n=x+1, tức là:

     $\sum_{k=1}^{x+1}k^{3}=(\sum_{k=1}^{x+1}k)^{2}\Leftrightarrow \sum_{k=1}^{x}k^{3}+(x+1)^{3}=(\sum_{k=1}^{x}k)^{2}+(x+1)^{2}+2(x+1)(\sum_{k= 1}^{x}k)\Leftrightarrow (x+1)^{3}=(x+1)^{2}+2(x+1)\cdot \frac{x(x+1)}{2}\Leftrightarrow (x+1)^{3}=(x+1)^{3}$  (luôn đúng)

 Do đó theo quy nạp ta có đpcm

Cách làm của bạn rất hay, mình còn 1 cách nữa dùng hình học

13921194_169075410180508_105583689444533

Cái này thì ai nhìn cũng hiểu được nhỉ


"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh