Chủ đề này có 1 trả lời

[I Love MC]

Cho $k$ là số tự nhiên cho trước, với mỗi $n$ ta xác định tập $A=\{m \in \mathbb{N}| n-k+1 \le m \le n, C_n^k \vdots m\}$. gọi $F(n)$ là số phần tử của $A$, tìm max $F(n)$
(Đề chọn đội tuyển học sinh quốc gia tỉnh Thừa Thiên Huế 2016-2017)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 29-09-2016 - 21:50

[redfox]

$k=1$ thì $max F(n)=1$. Ta xét $k>1$.

Chọn $n=k!$.

Ta có $\binom{n}{k}=\prod_{i=1}^{k-1}(n-i)$. Vậy $m\in A,\forall m\in \mathbb{N},n-k+1\leq m\leq n-1$. Vậy $max F(n)\geq k-1$

Gọi $p$ là ước nguyên tố của $k$. Ta đặt $a=max v_p(n-i)$, chọn $m$ thoả mãn. Ta đặt $n-m=xp^a$

Ta có $v_p(\binom{n}{k})=\sum_{i=1}^{\infty }(\left \lfloor \frac{n}{p^i} \right \rfloor-\left \lfloor \frac{n-k}{p^i} \right \rfloor-\left \lfloor \frac{k}{p^i} \right \rfloor)$.

-$p^a>p$:

Với $i>a$, ta có $\left \lfloor \frac{n}{p^i} \right \rfloor\geq \left \lfloor \frac{n-k}{p^i} \right \rfloor\geq \left \lfloor \frac{x-1}{p^{i-a}} \right \rfloor=\left \lfloor \frac{x}{p^{i-a}} \right \rfloor,\left \lfloor \frac{n}{p^i} \right \rfloor=\left \lfloor \frac{xp^a+m}{p^i} \right \rfloor=\left \lfloor \frac{x}{p^{i-a}} \right \rfloor$( $x$ không chia hết cho $p$). Từ đó các số hạng với $i=1,i>a$ bằng $0$, các số hạng còn lại không lớn hơn $1$ suy ra $v_p(\binom{n}{k})< a-1= v_p(n-m)$ hay có ít nhất một số $n-i$ nào đó không thuộc $A$. Vậy $F(n)\leq k-1$.

Từ trên ta có $max F(n)=k-1$.

-$p^a\leq k$:

Tương tự ta có $max F(n)=k-1$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi redfox: 01-10-2016 - 10:05