Cho $a,b,c \geq 0$ thỏa mãn: $a+b+c=2$. Tìm min: $P=\frac{a}{b^2c^2+1}+\frac{b}{c^2a^2+1}+\frac{c}{a^2b^2+1}-3\sqrt{1-abc}$
$P=\frac{a}{b^2c^2+1}+\frac{b}{c^2a^2+1}+\frac{c}{a^2b^2+1}-3\sqrt{1-abc}$
#1
Đã gửi 29-09-2016 - 22:44
#2
Đã gửi 29-09-2016 - 23:30
Ta có : $\sum \frac{a}{b^{2}c^{2}+1}=\sum a-\sum \frac{ab^{2}c^{2}}{b^{2}c^{2}+1}\geq \sum a-\frac{3}{2}abc$
$\Rightarrow P\geq 2-\frac{3}{2}abc-3\sqrt{1-abc}=\frac{3}{2}\left ( t-1 \right )^{2}-1\geq -1$
với $0\leq t=\sqrt{1-abc}\leq 1$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow (a,b,c)=(0,1,1)\vee (a,b,c)=(0,0,2)$ và các hoán vị
#3
Đã gửi 04-10-2016 - 23:09
Ta có : $\sum \frac{a}{b^{2}c^{2}+1}=\sum a-\sum \frac{ab^{2}c^{2}}{b^{2}c^{2}+1}\geq \sum a-\frac{3}{2}abc$
$\Rightarrow P\geq 2-\frac{3}{2}abc-3\sqrt{1-abc}=\frac{3}{2}\left ( t-1 \right )^{2}-1\geq -1$
với $0\leq t=\sqrt{1-abc}\leq 1$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow (a,b,c)=(0,1,1)\vee (a,b,c)=(0,0,2)$ và các hoán vị
Bạn xem lại nhé. min P=1 khi a=0; b+c=2 (b,c bất kì) và các hoán vị nhé!
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh