Chứng minh rằng với mọi số n$\geq$ 2 thì $S=\frac{3}{4}+\frac{8}{9}+\frac{15}{16}+...+\frac{n^2-1}{n^2}$$ không là số nguyên
Chứng minh rằng với mọi số n$\geq$ 2
#1
Đã gửi 30-09-2016 - 22:53
#2
Đã gửi 01-10-2016 - 07:15
$S=\frac{2^2-1}{2^2}+\frac{3^2-1}{3^2}+\frac{4^2-1}{4^2}+...+\frac{n^2-1}{n^2}=(n-1)-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}\right)$
Để chứng minh $S$ không là số nguyên, ta chứng minh $A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}$ không là số nguyên. (vì $n-1$ là số nguyên rồi)
Rõ ràng $A>0$
Ta có $2^2>1.2\implies\frac{1}{2^2}<\frac{1}{1.2}$
Làm tương tự rồi cộng lại ta được $A<\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{(n-1)n}\\ A<\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\\ A<1-\frac{1}{n}<1$
Suy ra $0<A<1$ nên $A$ không là số nguyên, hay $S$ không là số nguyên.
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức., làm trội làm giảm
|
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm min:Cho x,y,z là các số dương. Tìm Min của biểu thức P=$\sqrt[3]{4(x^{3}+y^{3})}Bắt đầu bởi Longtunhientoan2k, 24-09-2015 bất đẳng thức, bất đẳng thức. |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$n(\sum a_{1}^{n})\geq (\sum a_{1})(\sum a_{1}^{n-1})$Bắt đầu bởi Dam Uoc Mo, 28-06-2014 bất đẳng thức. |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh