Chủ đề này có 3 trả lời

[duyanh782014]

Cho a,b,c>0.CMR $\frac{ab}{a+2b}+\frac{bc}{b+2c}+\frac{ca}{c+2a}\leq \frac{a+b+c}{3}$

[hanguyen445]

Cho a,b,c>0.CMR $\frac{ab}{a+2b}+\frac{bc}{b+2c}+\frac{ca}{c+2a}\leq \frac{a+b+c}{3}$

\[a + 2b = a + b + b \geqslant 2\sqrt[3]{{a{b^2}}};\,\sqrt[3]{{{a^2}b}} \leqslant \frac{{2a + b}}{3}\]

\[VT = \sum {\frac{{ab}}{{a + 2b}}}  \leqslant \sum {\frac{{ab}}{{3\sqrt[3]{{a{b^2}}}}}}  = \sum {\frac{{\sqrt[3]{{{a^2}b}}}}{3}} \]

\[ \leqslant \sum {\frac{{2a + b}}{9} = \frac{{a + b + c}}{3}} \]

[Baoriven]

Một cách làm khác.

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với.

$\frac{1}{\frac{1}{b}+\frac{2}{a}}+\frac{1}{\frac{1}{c}+\frac{2}{b}}+\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{2}{c}}\leq \frac{a+b+c}{3}$.

Ta có: $\frac{1}{b}+\frac{2}{a}=\frac{1}{b}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}\geq \frac{9}{2a+b}$.

Từ đó ta có: $VT\leq \frac{2a+b}{9}+\frac{2b+c}{9}+\frac{2c+a}{9}=\frac{a+b+c}{3}$.

[loolo]

$\sum \frac{ab}{a+2b}\leq\sum \frac{ab}{9}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b})=\frac{a+b+c}{3}$