Cho a,b,c>0.CMR $\frac{ab}{a+2b}+\frac{bc}{b+2c}+\frac{ca}{c+2a}\leq \frac{a+b+c}{3}$
CMR $\frac{ab}{a+2b}+\frac{bc}{b+2c}+\frac{ca}{c+2a}\leq \frac{a+b+c}{3}$
#1
Đã gửi 01-10-2016 - 13:26
#2
Đã gửi 01-10-2016 - 13:33
Cho a,b,c>0.CMR $\frac{ab}{a+2b}+\frac{bc}{b+2c}+\frac{ca}{c+2a}\leq \frac{a+b+c}{3}$
\[a + 2b = a + b + b \geqslant 2\sqrt[3]{{a{b^2}}};\,\sqrt[3]{{{a^2}b}} \leqslant \frac{{2a + b}}{3}\]
\[VT = \sum {\frac{{ab}}{{a + 2b}}} \leqslant \sum {\frac{{ab}}{{3\sqrt[3]{{a{b^2}}}}}} = \sum {\frac{{\sqrt[3]{{{a^2}b}}}}{3}} \]
\[ \leqslant \sum {\frac{{2a + b}}{9} = \frac{{a + b + c}}{3}} \]
- duyanh782014 và Element hero Neos thích
#3
Đã gửi 01-10-2016 - 20:34
Một cách làm khác.
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với.
$\frac{1}{\frac{1}{b}+\frac{2}{a}}+\frac{1}{\frac{1}{c}+\frac{2}{b}}+\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{2}{c}}\leq \frac{a+b+c}{3}$.
Ta có: $\frac{1}{b}+\frac{2}{a}=\frac{1}{b}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}\geq \frac{9}{2a+b}$.
Từ đó ta có: $VT\leq \frac{2a+b}{9}+\frac{2b+c}{9}+\frac{2c+a}{9}=\frac{a+b+c}{3}$.
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
#4
Đã gửi 01-10-2016 - 21:02
$\sum \frac{ab}{a+2b}\leq\sum \frac{ab}{9}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b})=\frac{a+b+c}{3}$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh