Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề thi chọn đội tuyển Quốc gia tỉnh Thanh Hóa năm 2016-2017(vòng 2)


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1 tien123456789

tien123456789

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 116 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT Cẩm Thủy 1, Thanh Hóa
  • Sở thích:toan hoc,cau long,co tuong

Đã gửi 01-10-2016 - 18:22

Đề vòng 2

 

Câu 1. Cho $x,y,z>0$ thỏa $\sum x =\sum \frac{1}{x}$
Chứng minh rằng :

$$\sum \frac{1}{(2xy+yz+zx)^2} \le \frac{3}{16x^2y^2z^2}$$

 

Câu 2. Tìm tất cả đa thức $P(x)$ với hệ số là các số nguyên thỏa mãn $P(n)|n^{(n-1)^{2016}}-1$ với mọi số nguyên dương $n$

 

Câu 3. Với mọi số nguyên dương $n$ cho trước,tính tổng sau theo $n$ :

$$S_n=\sum_{i=0}^{\left[\frac{n+1}{2} \right]} C_{n-i+1}^i$$

 

Trong đó $C_k^m=\frac{m!}{k!.(m-k)!}$ và $\left[\frac{n+1}{2} \right]$ là phần nguyên của $\frac{n+1}{2}$

 

C360_2016-10-01-11-34-36-471.jpg


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 03-10-2016 - 23:21

Điều quan trọng là đừng bao giờ bỏ cuộc. Đừng lo sợ sự chậm trễ mà hãy lo sợ khi dừng lại. - Kim Nan Do


#2 baopbc

baopbc

    Himura Kenshin

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 410 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 01-10-2016 - 19:08

Bài 3. (Một bài quen thuộc)

Dễ thấy $C^i_{n-i+1}$ là số tất cả các tập con gồm $i$ phần tử của tập hợp $\left \{ 1,2,3,...,n \right \}$ sao cho không chứa hai số nguyên liên tiếp.

Từ đó $S_n$ là số tất cả các tập con của $\left \{ 1,2,3,...,n \right \}$ sao cho không chứa hai số nguyên liên tiếp.

Nhận thấy tập $S_n$ được cho bởi :

$i,$ $S_{n-1}$

$ii,$ Các tập con của $S_{n-1}$ mà không chứa phần tử $n-1$ và thêm vào phần tử $n$

Do đó $S_n=S_{n-1}+S_{n-2}$.

Mặt khác dễ thấy $S_0=1$ và $S_1=2$ nên 

$S_n=\sum_{i=0}^{[\frac{n+1}{2}]} C_{n-i+1}^i=\frac{5+3\sqrt{5}}{10}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n+\frac{5-3\sqrt{5}}{10}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n$



#3 Senju Hashirama

Senju Hashirama

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 69 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Inequality , Functional equations ,
    Polynomial , Naruto

Đã gửi 01-10-2016 - 19:27

Câu 1 : Thực chất là đề IMO shortlist 2009 câu A2

http://www.artofprob...h355781p1932917



#4 superpower

superpower

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 492 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 01-10-2016 - 20:50

Câu 1 : Cho $x,y,z>0$ thỏa $\sum x =\sum \frac{1}{x}$

Chứng minh rằng : $\sum \frac{1}{(2xy+yz+zx)^2} \le \frac{3}{16x^2y^2z^2}$
 

Thuần nhất hóa và đổi biến $(x;y;z) -> (\dfrac{1}{x} ; \dfrac{1}{y} ; \dfrac{1}{z} ) $

Sau đó chuẩn hóa $x+y+z=3$

BĐT chứng minh được viết lại thành

$\sum \frac{1}{(x+3)^2} \leq \frac{1}{16} ( \sum \frac{1}{x}  ) $

Mặt khác, ta chứng minh đc 

$\frac{1}{(x+3)^2} -\frac{1}{16} .\frac{1}{x} \leq \frac{1}{32} x -\frac{1}{32} $

Do đó cộng lại ta có đpcm



#5 baopbc

baopbc

    Himura Kenshin

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 410 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 01-10-2016 - 21:08

Lời giải khác cho bài 1.

Từ giả thiết suy ra $xy+yz+xz=xyz(x+y+z)$

Đặt $yz=a,zx=b,xy=c$ thì $a+b+c=ab+bc+ca$, khi đó bất đẳng thức cần chứng minh $\Leftrightarrow $

\[\sum \frac{1}{(2a+b+c)^2}\leq \frac{3}{16abc}\]

Theo bất đẳng thức $\text{Cauchy}$,

$\frac{1}{[(a+b)+(b+c)]^2}\leq \frac{1}{4(a+b)(a+c)}$

Thiết lập các bất đẳng thức còn lại tương tự, ta sẽ chứng minh 

\[\sum \frac{1}{(a+b)(a+c)}\leq \frac{3}{4abc}\]

Đổi biến $p,q,r$ thì $p=q$ và bất đẳng thức trở thành $\frac{2p}{(pq-r)q}\leq \frac{3}{4pr}\Leftrightarrow 8pr\leq 3p^2-3r\Leftrightarrow 24pr\leq 9p^2-9r$

Theo bất đẳng thức $\text{Cauchy}$ thì $p^2=pq\geq 9r, 3pr\leq q^2=p^2$ nên bất đẳng thức hiển nhiên đúng.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$ hay $x=y=z=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 01-10-2016 - 21:08


#6 datcoi961999

datcoi961999

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 263 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:một chiến thắng đầy gian nan và vất vả trước hàng triệu đối thủ...
  • Sở thích:Sở là đứa nào mà lại hỏi tui!!!

Đã gửi 01-10-2016 - 21:11

bài 3 bằng quy nạp ta có thể cm S(n) chính là dãy fibonaci (sử dụng ct $C_{n+1}^{k}=C_{n}^{k}+C_{n}^{k-1}$)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi datcoi961999: 01-10-2016 - 21:18

                 :dislike    :off: ZION   :off:  :like                                                                                     98efb2f1bfc2432fa006b3d7d9f1f655.0.gif

                                                    


#7 datcoi961999

datcoi961999

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 263 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:một chiến thắng đầy gian nan và vất vả trước hàng triệu đối thủ...
  • Sở thích:Sở là đứa nào mà lại hỏi tui!!!

Đã gửi 02-10-2016 - 23:43

bạn có thể làm chi tiết được ko ạ

thì bạn xét $n=2k$ và $n=2k+1$ riêng rồi cộng S(n)+S(n+1) viết cụ thể ra sẽ thu gọn được thành S(n+2) 

Chẳng hạn: $S(2k)=C_{2k+1}^{0}+C_{2k}^{1}+C_{2k-1}^{2}+...+C_{k+1}^{k}; S(2k+1)=C_{2k+2}^{0}+C_{2k+1}^{1}+C_{2k}^{2}+C_{2k-1}^{3}+...+C_{k+2}^{k}+C_{k+1}^{k+1};S(2k+2)=C_{2k+3}^{0}+C_{2k+2}^{1}+...+C_{k+3}^{k}+C_{k+2}^{k+1}=1+(C_{2k+1}^{1}+C_{2k+1}^{0})+...=S(2k+1)+S(2k)$


                 :dislike    :off: ZION   :off:  :like                                                                                     98efb2f1bfc2432fa006b3d7d9f1f655.0.gif

                                                    


#8 Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1395 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{ĐH Quốc Gia Hà Nội}$ $\textrm{Trường ĐH Công Nghệ}$
  • Sở thích:$\textrm{Làm Những Gì Mình Thích}$

Đã gửi 04-10-2016 - 15:06

 

Đề vòng 2

 

Câu 1. Cho $x,y,z>0$ thỏa $\sum x =\sum \frac{1}{x}$
Chứng minh rằng :

$$\sum \frac{1}{(2xy+yz+zx)^2} \le \frac{3}{16x^2y^2z^2}$$

 

 

 

 

Đổi biến : $(x;y;z)\rightarrow \left ( \frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c} \right )$

 

$\Rightarrow a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

 

$\Rightarrow ab+bc+ac=abc(a+b+c)\leq \frac{(ab+bc+ac)^2}{3}$

 

$\Rightarrow ab+bc+ac\geq 3$

 

Khi đó:BĐT cần chứng minh trở thành:

 

$$\sum \frac{(abc)^2}{(a+b+2c)^2}\leq \frac{3(abc)^2}{16}$$

 

$$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{(a+b+2c)^2}\leq \frac{3}{16}$$

 

$$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{\left [ (a+c)+(b+c) \right ]^2}\leq \frac{3}{16}$$

 

Mặt khác:

 

$$\sum \frac{1}{\left [ (a+c)+(b+c) \right ]^2}\leq \sum \frac{1}{4(a+c)(b+c)}$$

 

Ta cần CM:

 

$$\frac{1}{(a+b)(b+c)}+\frac{1}{(b+c)(c+a)}+\frac{1}{(a+c)(a+b)}\leq \frac{3}{4}$$

 

$$\Leftrightarrow 3\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )\geq 8(a+b+c)(*)$$

 

Ta có BĐT quen thuộc : $\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )\geq \frac{8}{9}(ab+bc+ac)(a+b+c)\geq \frac{8}{3}(a+b+c)$

 

$\Leftrightarrow 3(a+b)(b+c)(a+c)\geq 8(a+b+c)$

 

Do đó BĐT (*) luôn đúng $\Rightarrow \boxed{\textrm{ĐPCM}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 04-10-2016 - 15:10


#9 nguyenhaan2209

nguyenhaan2209

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 103 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Châu Âu
  • Sở thích:Algebra, Combinatoric, Geometry & Number Theory

Đã gửi 01-09-2018 - 18:35

Bài 2: CMTT như bài làm của mình ở đây: https://diendantoanh...-năm-2017-2018/

Thay $n=2$ vào dễ thấy $P(x)=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhaan2209: 01-09-2018 - 18:36





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh