Chủ đề này có 1 trả lời

[Mymyn]

Cho $a, b, c > 0 : ab+bc+ca = 1$. Chứng minh rằng:
\[\frac{{1 - {a^2}}}{{1 + {a^2}}} + \frac{{1 - {b^2}}}{{1 + {b^2}}} + \frac{{1 - {c^2}}}{{1 + {c^2}}} = \frac{{4abc}}{{\sqrt {\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)\left( {1 + {c^2}} \right)} }} + 1\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 03-02-2024 - 16:48
Tiêu đề & LaTeX

[nhancccp]

Thay $ab+bc+ac=1$ vào ta được 

$\frac{1-a^2}{1+a^2}+\frac{1-b^2}{1+b^2}+\frac{1-c^2}{1+c^2}$

$=\frac{ab+bc+ac-a^2}{ab+bc+ac+a^2}+\frac{ab+bc+ac-b^2}{ab+bc+ac+b^2}+\frac{ab+bc+ac-c^2}{ab+bc+ac+c^2}$

$=\frac{(b+c)(ab+bc+ac-a^2)+(a+c)(ab+bc+ac-b^2)+(a+b)(ab+bc+ac-c^2)}{(a+b)(b+c)(a+c)}$

$=\frac{ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)+6abc}{(a+b)(b+c)(a+c)}$ (1)

Và $\frac{4abc}{\sqrt{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}}+1$

$=\frac{4abc}{\sqrt{(ab+bc+ac+a^2)(ab+bc+ac+b^2)(ab+bc+ac+c^2)}}+1$

$=\frac{4abc}{\sqrt{(a+b)^2(b+c)^2(a+c)^2}}+1$

$=\frac{4abc}{(a+b)(b+c)(a+c)}+1$ $(a,b,c>0)$

$=\frac{ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)+6abc}{(a+b)(b+c)(a+c)}$ (2)

Từ $(1)$ và $(2)$ ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhancccp: 03-02-2024 - 11:15