Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm giá trị lớn nhất$\frac{xyz}{\sqrt[3]{x+y}}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
01634908884

01634908884

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 140 Bài viết

Cho x,y,z nguyên dương;thỏa mãn $xy+yz+xz= 1$

Tìm GTLN$\frac{xyz}{\sqrt[3]{x+y}}$


. Mây tầng nào gặp gió tầng ấy. :D 


#2
leminhnghiatt

leminhnghiatt

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1078 Bài viết

Cho x,y,z nguyên dương;thỏa mãn $xy+yz+xz= 1$

Tìm GTLN$\frac{xyz}{\sqrt[3]{x+y}}$

 

Từ $GT \iff z=\dfrac{1-xy}{x+y}$

 

$\rightarrow P=\dfrac{xy(1-xy)}{\sqrt[3]{(x+y)^4}} \leq \dfrac{xy(1-xy)}{2\sqrt[3]{2x^2y^2}}=\dfrac{\sqrt[3]{xy}(1-xy)}{2\sqrt[3]{2}}$

 

Đặt $\sqrt[3]{xy}=t$, xét hàm số: $f(t)=\dfrac{t(1-t^3)}{2\sqrt[3]{2}}$

 

$\rightarrow f'(t)=\dfrac{1}{2\sqrt[3]{2}}-\dfrac{2a^3}{\sqrt[3]{2}} \rightarrow f'(t)=0 \iff a^3=\dfrac{1}{8} \rightarrow xy=\dfrac{1}{4}$

 

$\rightarrow f(t)=\dfrac{3}{16}$

 

Dựa vào bảng biến thiên dễ thấy hàm số đạt GTLN $P=\dfrac{3}{16}$ tại $xy=\dfrac{1}{4}$ hay $x=y=\dfrac{1}{2};z=\dfrac{3}{4}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 03-10-2016 - 20:04

Don't care





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh