Đến nội dung

Hình ảnh

Đề Olympic Toán sinh viên HV PK-KQ

olympic toán sinh viên

  • Please log in to reply
Chưa có bài trả lời

#1
math2

math2

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 7 Bài viết

Câu 1:(1,5 điểm) Tìm tất cả các hàm $f,g,h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn $(x-y)f(x) +h(x) -xy+y^2 \leq h(y) \leq (x-y)g(x) + h(x) -xy +y^2,  \forall x,y \in \mathbb{R}$

Câu 2: (2,5 điểm) Tính tích phân $\int\limits_0^{2\pi} \sin (2015x +\sin x)dx$.

Câu 3: (1,5 điểm) Cho $a_0 \neq 0$, $a_1, a_2, \dots, a_n$; $m>0$ $(n \in \mathbb{N}^*)$ các số thực thỏa mãn điều kiện: $\dfrac{a_0}{m+n}+\dfrac{a_1}{m+n-1}+\dots +\dfrac{a_{n-1}}{m+1}+\dfrac{a_n}{m}=0$. Chứng minh rằng phương trình $x_0x^n +a_1x^{n-1} +\dots + a_{n-1}x+a_0 =0$ nghiệm $x\in (0,1)$.

Câu 4: (1,0 điểm) Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[0,1]$ thỏa mãn điều kiện $f(0)=f(1)$. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên $n$, luôn tồn tại $c \in [0,1]$ sao cho $f(c)=f\left(c+\dfrac{1}{c}\right)$.

Câu 5: (1,5 điểm) Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1=\dfrac{1}{2}$, $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}\left(u_n + \sqrt{u_n^2 +\dfrac{1}{4^n}}\right)$. Chứng minh rằng $u_n = \dfrac{1}{2^n}\cot \dfrac{\pi}{2^{n+1}}$.

Câu 6: (1,5 điểm) Tính giới hạn $\lim\limits_{n \to \infty} S_n = \lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{1}{n}\left( \sin\dfrac{\pi}{n}+\sin\dfrac{2\pi}{n}+\dots + \sin \dfrac{(n-1)\pi}{n}\right)$.

Câu 7:(1,5 điểm) Cho $f$ hàm số liên tục trên $[0, +\infty)$ thỏa mãn điều kiện $\int_0^x f^2(t)dt \leq \frac{x^3}{3}, \quad \forall x \geq 0.$ Chứng minh rằng $\int\limits_0^x f(t)dt \leq \dfrac{x^2}{2}$ với mọi $x \geq 0$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi math2: 04-10-2016 - 11:16






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: olympic toán sinh viên

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh