Chủ đề này có 1 trả lời

[tienduc]

Cho a,b,c là các số thực không âm. CM

$4(\sqrt{a^{3}b^{3}}+\sqrt{b^{3}c^{3}}+\sqrt{c^{3}a^{3}})\leq 4c^{3}+(a+b)^{3}$

[leminhnghiatt]

Cho a,b,c là các số thực không âm. CM

$4(\sqrt{a^{3}b^{3}}+\sqrt{b^{3}c^{3}}+\sqrt{c^{3}a^{3}})\leq 4c^{3}+(a+b)^{3}$

 

$4c^3+(a+b)^3=4c^3+a^3+b^3+3ab(a+b)$

 

Ta có: $ab(a+b) \geq 2ab\sqrt{ab} \rightarrow 3ab(a+b) \geq 6\sqrt{a^3b^3}$

 

$\rightarrow 4c^3+(a+b)^3 \geq 4c^3+a^3+b^3+6\sqrt{a^3b^3}=4c^3+(\sqrt{a^3}+\sqrt{b^3})^2+4\sqrt{a^3b^3}$

 

Lại có theo AM-GM: $(2\sqrt{c^3})^2+(\sqrt{a^3}+\sqrt{b^3})^2 \geq 2.2\sqrt{c^3}.(\sqrt{a^3}+\sqrt{b^3})=4\sqrt{c^3b^3}+4\sqrt{c^3a^3}$

 

Vậy $4c^3+(a+b)^3 \geq 4\sqrt{c^3b^3}+4\sqrt{c^3a^3}+4\sqrt{a^3b^3}$ (đ.p.c.m)

 

Dấu "=" $\iff a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 06-10-2016 - 20:07