Chủ đề này có 6 trả lời

[Kien204]

Đề thi chọn đội tuyển THPT Chuyên Đại Học Vinh 2016-2017 (ngày 1)

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kien204: 05-10-2016 - 17:50

[The God of Math]

Bài 1 thì dễ rồi , chỉ việc xét hàm $f(x)=x+ln\frac{x+1}{2x-3}$ với $x \in (\frac{3}{2} , + \infty)$ rồi chứng minh $f'(x)<1$ rồi áp dụng định lý $LaGrange$ là suy ra tồn tại $lim U_{n}=b$ lấy lim 2 vế ở giả thiết đề bài cho suy ra $b=4$. $Done$.

[vpvn]

Bài hình

a) SI vuông góc AC ID vuông góc SD $\Rightarrow$ SI² =SD*SC  $\Rightarrow$ S thuộc trục đẳng phương của (O) và (C) $\Rightarrow$  dpcm

b) dễ có SJD cân với trung trực SE $\Rightarrow$ $\widehat{JEF}= \widehat{DEF}= \widehat{DAF}$ và SE  vuông góc AD

 $\Rightarrow$ AF  vuông góc EJ

[yeutoanmanhliet]

câu 4b làm sao ạ

[superpower]

Tìm tất cả các số thực $k$ sao cho bđt sau đúng với mọi số thực không âm $a,b,c$

$ab+bc+ca \leq \frac{(a+b+c)^2}{3} + k. max ${ $ (a-b)^2,(b-c)^2,(c-a)^2 $ }$ \leq a^2+b^2+c^2 $ 

Không mất tính tổng quát giả sử $a \geq b \geq c $

Khi đó, ta đặc $a=c+u ; b=c+v $ 

Đầu tiên dễ thấy $k=0$ thỏa YCBT

TH1: $ k < 0 $

Khi đó  Vế sau của bđt là hiển nhiên

Khi đó $ab+bc+ca \leq \frac{(a+b+c)^2}{3} + k. max ${ $ (a-b)^2,(b-c)^2,(c-a)^2 $ } $

Tương đương với 

$(c+u)(c+v) + c(c+u)+ c(c+v) \leq  (c+u)^2+(c+v)^2+c^2  + 3k.u^2 $

Rút gọn, ta cần tìm

$uv \leq u^2 +v^2 + 3ku^2 $

Ta cần tìm $k$ sao cho bđt này đúng với mọi số $u,v$ không âm

$(1+3k)u^2 -uv + v^2 \geq 0 $ 

Ta cần tìm $k$ sao cho bđt sau đúng với $t$ không âm

$(1+3k)t^2 - t +1 \geq 0 $

Nếu $1+3k \leq 0 $ thì vô lí

Do đó $1+3k >0 $

Ta xét hàm số $f(t)= \frac{t-1}{t^2} $

Dễ thấy $1+3k \geq max f(t) = f(2) =\frac{1}{4} $

Do đó $k \geq \frac{-1}{4} $

TH2: $k >0 $

Khi đó làm tương tự

Ta đưa về hàm

$(2-3k)t^2-2t+2 \geq 0 $

Dễ thấy khi đó $2-3k \geq \frac{1}{2} $

Do đó $k \leq \frac{1}{2} $

Do đó $\frac{-1}{4} \leq k \leq \frac{1}{2} $

 

 

[takarin1512]

Câu 4:

a. $\left ( 1,10,11 \right );\left ( 2,5,7 \right );\left ( 3,6,9 \right );\left ( 4,8,12 \right )$

b. Giả sử chia được thì chỉ có thể chia tối đa thành 3 tập hợp con (do mỗi tập phải có ít nhất 3 phần tử)

Gọi tổng các phần tử lúc sau là S, ta có:

$S\geq 1+2+...+11=66$

Vì chỉ có thể có tối đâ 3 tập nên $S\leq 2\left ( 10+11+12 \right )=66$

Do đó $S=66$. Tuy nhiên điều kiện xảy ra dấu bằng là phải bổ đi thẻ số 12 và phần tử lớn nhất trong các tập là 10,11,12 không thể đồng thời xảy ra được cho nên giả sử vô lý.

Suy ra không chia được.

[dogsteven]

Bài 2.  Cho $a=3, b=2, c=1$ ta được $\dfrac{-1}{4}\leqslant k\leqslant \dfrac{1}{2}$

Ta sẽ chứng minh $k$ thỏa mãn điều trên thì bất đẳng thức đúng.

Thật vậy, ta cần chứng minh: $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geqslant \text{max}\left\{-6k, 3k\right\}(a-c)^2$ trong đó $a\geqslant b\geqslant c$

Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng do $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geqslant \dfrac{(a-b+b-c)^2}{2}+(a-c)^2=\dfrac{3}{2}(a-c)^2$ và $\dfrac{3}{2}\geqslant \text{max}\left\{-6k, 3k\right\}$