Từ 2 điểm ở cùng độ cao h trên mặt đất và cách nhau 1 khoảng l người ta đồng thời ném hai hòn đá . Một hướng lên trời theo phương thẳng đứng với vận tốc v và một theo phương nằm ngang với vận tốc là n . Hỏi trong hai quá trình hai hòn đá chuyển động khoảng cách ngắn nhất chúng là bao nhiêu? , Biết rằng vận tốc ban đầu của hai hòn đá cùng nằm trong một mặt phẳng
Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho tọa độ ban đầu của hòn đá ném lên là $(0;h)$ ; của hòn đá ném ngang là $(l,h)$.Gốc thời gian lúc bắt đầu chuyển động.
Xét 2 trường hợp :
A- Hòn đá thứ hai ném ngang rời xa hòn đá thứ nhất :
Ta có :
$\left\{\begin{matrix} x_1=0 \\y_1=h+vt-\frac{gt^2}{2} \end{matrix}\right.$
Và :
$\left\{\begin{matrix} x_2=l+nt \\y_2=h-\frac{gt^2}{2} \end{matrix}\right.$
(với $t$ từ $0$ đến $\sqrt{\frac{2h}{g}}$)
Suy ra :
$\left |x_1-x_2 \right |=l+nt$ ; $\left |y_1-y_2 \right |=vt$
Gọi $d$ là khoảng cách giữa 2 hòn đá, ta có :
$d^2=\left |x_1-x_2 \right |^2+\left |y_1-y_2 \right |^2=(l+nt)^2+(vt)^2$
$d$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow d^2$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow t=0$
Vậy khoảng cách nhỏ nhất là $d_{min}=\sqrt{l^2}=l$ khi $t=0$.
B- Hòn đá thứ hai ném về phía hòn đá thứ nhất :
Ta có :
$\left\{\begin{matrix} x_1=0 \\y_1=h+vt-\frac{gt^2}{2} \end{matrix}\right.$
Và :
$\left\{\begin{matrix} x_2=l-nt \\y_2=h-\frac{gt^2}{2} \end{matrix}\right.$
(với $t$ từ $0$ đến $\sqrt{\frac{2h}{g}}$)
Suy ra :
$\left |x_1-x_2 \right |=\left |l-nt \right |$ ; $\left |y_1-y_2 \right |=vt$
Gọi $d$ là khoảng cách giữa 2 hòn đá, ta có :
$d^2=\left |x_1-x_2 \right |^2+\left |y_1-y_2 \right |^2=(l-nt)^2+(vt)^2=(v^2+n^2)t^2-2nlt+l^2$
$d$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow d^2$ nhỏ nhất.
$d^2$ là hàm bậc hai đối với $t$ với hệ số $A=(v^2+n^2)> 0$ nên đạt GTNN là $\frac{-\Delta '}{A}=\frac{v^2l^2}{v^2+n^2}$ khi $t=\frac{nl}{v^2+n^2}$
Vậy :
1) Nếu $\sqrt{\frac{2h}{g}}$ lớn hơn hoặc bằng $\frac{nl}{v^2+n^2}$ hay $h$ lớn hơn hoặc bằng $\frac{n^2l^2g}{2(v^2+n^2)^2}$ thì $d_{min}=\frac{vl}{\sqrt{v^2+n^2}}$ khi $t=\frac{nl}{v^2+n^2}$
2) Nếu $\sqrt{\frac{2h}{g}}< \frac{nl}{v^2+n^2}$ hay $h< \frac{n^2l^2g}{2(v^2+n^2)^2}$ thì $d_{min}=\sqrt{\frac{2(v^2+n^2)h}{g}-2nl\sqrt{\frac{2h}{g}}+l^2}$ khi $t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$
Tóm lại :
A- Hòn đá thứ hai ném rời xa hòn đá thứ nhất : khoảng cách nhỏ nhất là $d_{min}=\sqrt{l^2}=l$ khi $t=0$.
B- Hòn đá thứ hai ném về phía hòn đá thứ nhất : Có 2 khả năng :
1) Nếu $h$ lớn hơn hoặc bằng $\frac{n^2l^2g}{2(v^2+n^2)^2}$ thì $d_{min}=\frac{vl}{\sqrt{v^2+n^2}}$ khi $t=\frac{nl}{v^2+n^2}$.
2) Nếu $h< \frac{n^2l^2g}{2(v^2+n^2)^2}$ thì $d_{min}=\sqrt{\frac{2(v^2+n^2)h}{g}-2nl\sqrt{\frac{2h}{g}}+l^2}$ khi $t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 06-10-2016 - 07:57