Cho tam giác ABC ngoại tiếp (I) và nội tiếp (O) . Gọi J là giao điểm của 2 tia phân ngoài của 2 góc B và C của tam giác ABC. Gọi K là giao của (O) và IJ . Chứng minh :
a) chứng minh K là trung điểm IJ
b) Hạ JE, IF vuông góc với BC . Chứng minh :
a)Do I và J là tâm nội tiếp và ngoại tiếp
$\Rightarrow \widehat{IBJ}$
Do IJ giao (O) tại K
suy ra AK là p/g $\widehat{BAC} (1)
suy ra K chính giữa cung BC
suy ra BK=CK=IK
kết hợp vs (1) suy ra đpcm
b)Ta có:$\frac{IF}{BF}=tan\widehat{IBF}=\frac{1}{cotg\widehat{IBF}}=cotg\widehat{JBC}=\frac{BE}{JE}$
vì góc IBF+JBC=90
suy ra IF.JE=BF.BE=$\frac{\left ( a+c-b \right )\left ( a-c+b \right )}{4}=\frac{a^{2}-\left ( c-b \right )^{2}}{4}$
suy ra $\sqrt{IF.JE}$