Cho x>1 ; y>1 ; >1 thỏa mãn điều kiện $x+y+z=xyz$ Tìm GTNN của biểu thức
$\frac{y-2}{x^2}+\frac{z-2}{y^2}+\frac{x-2}{z^2}$
#1
Đã gửi 06-10-2016 - 11:50
#2
Đã gửi 06-10-2016 - 17:57
Cho x>1 ; y>1 ; >1 thỏa mãn điều kiện $x+y+z=xyz$ Tìm GTNN của biểu thức
$\frac{y-2}{x^2}+\frac{z-2}{y^2}+\frac{x-2}{z^2}$
$x+y+z=xyz=>\sum \frac{1}{xy}=1$
Ta có: $\sum \frac{y-2}{x^2}= \sum (y-1)(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2})-\sum \frac{1}{x}\geq \sum (y-1)\frac{2}{xy}-\sum \frac{1}{x}=\sum \frac{1}{x}-2\sum \frac{1}{xy}=\sum \frac{1}{x}-2$
Mặt khác : $(\sum \frac{1}{x})^2\geq 3(\sum \frac{1}{xy})=3=>\sum \frac{1}{x}\geq \sqrt{3}$
=>$\sum \frac{1}{x}-2\geq \sqrt{3}-2$
Vậy Min=$\sqrt{3}-2<=>x=y=z=\sqrt{3}$
=>đpcm
- nguyenquangtruonghktcute, Nguyenhungmanh và Basara thích
#3
Đã gửi 27-04-2021 - 20:28
Cho x>1 ; y>1 ; >1 thỏa mãn điều kiện $x+y+z=xyz$ Tìm GTNN của biểu thức
$\frac{y-2}{x^2}+\frac{z-2}{y^2}+\frac{x-2}{z^2}$
Đặt $(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z})\rightarrow (a,b,c)$ thì $a,b,c>0$ và $ab+bc+ca=1$
Khi đó $P=\frac{c^2(1-2a)}{a}+\frac{a^2(1-2b)}{b}+\frac{b^2(1-2c)}{c}$
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta được: $\frac{c^2(1-a)}{a}+a(1-a)\geqslant 2c(1-a)$
$\frac{a^2(1-b)}{b}+b(1-b)\geqslant 2a(1-b)$
$\frac{b^2(1-c)}{c}+c(1-c)\geqslant 2b(1-c)$
Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên, ta được: $(\frac{c^2(1-a)}{a}-c^2)+(\frac{a^2(1-b)}{b}-a^2)+(\frac{b^2(1-c)}{c}-b^2)\geqslant a+b+c-2(ab+bc+ca)\geqslant \sqrt{3(ab+bc+ca)}-2(ab+bc+ca)=\sqrt{3}-2$
hay $\frac{c^2(1-2a)}{a}+\frac{a^2(1-2b)}{b}+\frac{b^2(1-2c)}{c}\geqslant \sqrt{3}-2$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\sqrt{3}$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức |
|
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh