Đến nội dung

Hình ảnh

Tính $lim\frac{S_n}{n}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1=1,u_2=0$ và $e^{u_{n+2}}=e^{u_n}-u_n,\forall n\in \mathbb{N}^{*}$. 

Đặt: $S_n=\sum_{k=1}^{n-1}(n-k)u_{2k-1}$.

Tính $lim\frac{S_n}{n}$.


$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$


#2
Ego

Ego

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 296 Bài viết

Đề bài hầu như không dùng tới dữ kiện $u_{2k}$ nên ta không cần định nghĩa chúng. Định nghĩa lại như sau $v_{1} = 1, e^{v_{n + 1}} = e^{v_{n}} - v_{n}$ và $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n - 1}(n - k)v_{k}$

  • Ta sẽ chứng minh $e^{v_{n}}$ hội tụ
    Thật vậy, xét hàm $f(x) = x - \ln(x)$ trên $(0; +\infty)$; chứng minh được $f(x) \ge 1$. Ta có $e^{v_{n + 1}} = e^{v_{n}} - \ln(e^{v_{n}})$ nên ta có $e^{v_{n + 1}} \ge 1$
    Giả sử $x > y$, xét $f(x) - f(y) = x - y - (\ln(x) - \ln(y)) = x - y - \frac{x - y}{t} = (x - y)\left(1 - \frac{1}{t}\right)$ với $t\in (x; y)$. Có $\frac{1}{2} < 1 \le x < t$ nên $\left|1 - \frac{1}{t}\right| < 1$. Theo nguyên lí ánh xạ co thì $e^{v_{n}}$ hội tụ và nó hội tụ về $1$.

Ta có $S_{n + 1} - S_{n} = \sum_{k = 1}^{n}(n + 1 - k)v_{k} - \sum_{k = 1}^{n - 1}(n - k)v_{k} = \sum_{k = 1}^{n}v_{k}$
Mặt khác, $v_{n} = e^{v_{n + 1}} - e^{v_{n}}$ nên $\sum_{k = 1}^{n}v_{k} = e^{v_{n + 1}} - e_{v_{1}} = e^{v_{n + 1}} - e \to 1 - e$ khi $n \to +\infty$
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ego: 16-10-2016 - 21:51





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh