Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1=1,u_2=0$ và $e^{u_{n+2}}=e^{u_n}-u_n,\forall n\in \mathbb{N}^{*}$.
Đặt: $S_n=\sum_{k=1}^{n-1}(n-k)u_{2k-1}$.
Tính $lim\frac{S_n}{n}$.
Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1=1,u_2=0$ và $e^{u_{n+2}}=e^{u_n}-u_n,\forall n\in \mathbb{N}^{*}$.
Đặt: $S_n=\sum_{k=1}^{n-1}(n-k)u_{2k-1}$.
Tính $lim\frac{S_n}{n}$.
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
Đề bài hầu như không dùng tới dữ kiện $u_{2k}$ nên ta không cần định nghĩa chúng. Định nghĩa lại như sau $v_{1} = 1, e^{v_{n + 1}} = e^{v_{n}} - v_{n}$ và $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n - 1}(n - k)v_{k}$
Ta có $S_{n + 1} - S_{n} = \sum_{k = 1}^{n}(n + 1 - k)v_{k} - \sum_{k = 1}^{n - 1}(n - k)v_{k} = \sum_{k = 1}^{n}v_{k}$
Mặt khác, $v_{n} = e^{v_{n + 1}} - e^{v_{n}}$ nên $\sum_{k = 1}^{n}v_{k} = e^{v_{n + 1}} - e_{v_{1}} = e^{v_{n + 1}} - e \to 1 - e$ khi $n \to +\infty$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ego: 16-10-2016 - 21:51
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh