Chủ đề này có 2 trả lời

[Minhnguyenthe333]

Cặp số $(n,n+2)$ được gọi là 1 cặp số nguyên tố sinh đôi nếu $n$ và $n+2$ đều là số nguyên tố. Kí hiệu $\pi (x)$ là số các cặp số nguyên tố sinh đôi $(n,n+2)$ với $n\leqslant x$. Chứng minh rằng

         $\pi (x)=2+\sum_{7\leqslant n\leqslant x} \sin \left \{ (n+2)\left \lfloor \frac{n!}{n+2}\right \rfloor \right \}\frac{\pi}{2} \sin \left \{ n\left \lfloor \frac{n-2)!}{n} \right \rfloor \right \}\frac{\pi}{2}$

[I Love MC]

Liệu có liên quan đến bổ đề này ? 
Bổ đề : Các số $n,n+2$ tạo thành một cặp số nguyên tố sinh đôi $\Leftrightarrow  n(n+2)|4((n-1)!+1)+n$ 
Chứng minh : $n,n+2$ là các số nguyên tố nên ta có $(n-1)! \equiv -1 \pmod{n},(n+1)! \equiv -1 \pmod{n+2}$ (định lí Wilson) . Nhưng chú ý rằng $n \equiv -2 \pmod{n+2},n+1 \equiv -1 \pmod{n+2} \Rightarrow (n+1)! \equiv (n-1)!.2 \pmod{n+2}$
$\Rightarrow n|4((n-1)!+1)+n$ 
Mà $4((n-1)!+1)+n \equiv (n+1)!.2+2+n+2 \equiv 0 \pmod{n+2}$ từ đó ta có $n(n+2)|4((n-1)!+1)+n$  
Ta chứng minh chiều ngược lại : 
Giả sử với $n>1$ thì $ n(n+2)|4((n-1)!+1)+n$  đúng . Nếu $n$ chẵn thì đặt $n=2k,k \in \mathbb{N^*}$ ,ta có $k|(n-1)!$
$\Rightarrow n|4(n-1)!$ mà $n(n+2)|4((n-1)!+1)+n \Rightarrow k \in \{1,2\}$ rồi tính ra được $n=2,4$ nhưng thế vào $n(n+2)|4((n-1)!+1)+n$ thì không đúng . Theo từ đề bài ta có $(n-1)!+1 \equiv 0 \pmod{n}$ kéo theo $n$ là số nguyên tố (định lí Wilson) . Ta có $4((n-1)!+1)+n \equiv 2((n+1)!+1) \equiv 0  \pmod{n+2}$ mà $n$ lẻ nên $(n+1)!+1 \equiv 0 \pmod{2} \Rightarrow n+2$ là số nguyên tố (định lí Wilson) 
Bổ đề được chứng minh 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 09-10-2016 - 16:52

[I Love MC]

Lời giải :  Xét $n \ge 6$ là hợp số thì $2|\frac{(n-2)!}{n}$ suy ra $sin(\frac{\pi}{2}n[\frac{(n-2)!}{n}])=0$ 
Nếu $p$ là số nguyên tố thì theo định lí Wilson $(p-2)! \equiv -(p-1)! \equiv 1 \pmod{p}$ 
Do đó $[\frac{(n-2)!}{n}]=\frac{(p-2)!-1}{p}$ 
Như vậy với $p>5$ ta có $4|(p-2)! \Rightarrow   sin(\frac{\pi}{2}n[\frac{(p-2)!}{p}])=sin(\frac{\pi}{2}p[(p-2)!-1])=-1$ 
Suy ra nếu $n \ge 6$ thì số hạng thứ $n$ bằng $0$ khi $n$ hoặc $n+2$ là hợp số ,sẽ bằng $1$ khi $n$ và $n+2$ đều là số nguyên tố 
Suy ra $\prod_{n=7}^x sin((n+2)[\frac{n!}{n+2}])\frac{\pi}{2}sin(n[\frac{(n-2)!}{n}])\frac{\pi}{2}$ sẽ cho ta các cặp số nguyên tố sinh đôi $(n,n+2)$ 
Cộng với hai cặp $(3,5),(5,7)$ thì ta có điều phải chứng minb