Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho phương trình sau có nghiệm nguyên dương
$x^2+y^2=n(x+1)(y+1)$
Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho phương trình sau có nghiệm nguyên dương
$x^2+y^2=n(x+1)(y+1)$
Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho phương trình sau có nghiệm nguyên dương
$x^2+y^2=n(x+1)(y+1)$
Ta chứng minh không tồn tại $n$ thỏa mãn
$\iff x^2-xn(y+1)+y^2-n(y+1)=0$
Cố định tập nghiệm, giả sử $x\geqslant y$ và $x+y$ đạt min
Theo Viete ngoài nghiệm $x$ còn nghiệm $t$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} t+x=n(y+1)\\ tx=y^2-n(y+1)\end{matrix}\right.$
Nếu $t=0\implies y^2=n(y+1)\iff y\mid n$ hay $y+1 \mid y$ (vô lí)
Nếu $t<0\implies t^2-tn(y+1)+y^2-n(y+1)=0$
mà $ t^2-tn(y+1)+y^2-n(y+1)=t^2+y^2+n(y+1)(-t-1)>0$ (mâu thuẫn)
Vậy $t>0\implies t\geqslant x\geqslant y$ vì tính nhỏ nhất của $x+y$
Khi đó $xn(y+1)=x(t+x)\leqslant 2tx=2[y^2-n(y+1)]$
Lại có $x\geqslant y\implies 2[y^2-n(y+1)]\geqslant ny(y+1)\iff y^2(2-n)\geqslant n(3y+2)>0$
Kéo theo $n=1\implies x^2+y^2=x+y+xy+1\iff (x+y)(x+y-1)=2xy+1$ ( vô lí vì VT chẵn mà VP lẻ)
Kết luận: Không tồn tại $n$ nguyên dương thỏa mãn $\blacksquare$
cách khác :
sau khi gs $t\geq x\geq y$
$x=\frac{y^2-n(y+1)}{t}\leq \frac{y^2-x(y+1)}{x}\Rightarrow y^2-x^2\geq n(y+1)\Rightarrow 0> n(y+1)$ (hoang đường )
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minh Hieu Hoang: 08-10-2016 - 18:42
Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho phương trình sau có nghiệm nguyên dương
$x^2+y^2=n(x+1)(y+1)$
Ta chứng minh không tồn tại $n$ thỏa mãn
$\iff x^2-xn(y+1)+y^2-n(y+1)=0$
Cố định tập nghiệm, giả sử $x\geqslant y$ và $x+y$ đạt min
Theo Viete ngoài nghiệm $x$ còn nghiệm $t$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} t+x=n(y+1)\\ tx=y^2-n(y+1)\end{matrix}\right.$
Nếu $t=0\implies y^2=n(y+1)\iff y\mid n$ hay $y+1 \mid y$ (vô lí)
Nếu $t<0\implies t^2-tn(y+1)+y^2-n(y+1)=0$
mà $ t^2-tn(y+1)+y^2-n(y+1)=t^2+y^2+n(y+1)(-t-1)>0$ (mâu thuẫn)
Vậy $t>0\implies t\geqslant x\geqslant y$ vì tính nhỏ nhất của $x+y$
Khi đó $xn(y+1)=x(t+x)\leqslant 2tx=2[y^2-n(y+1)]$
Lại có $x\geqslant y\implies 2[y^2-n(y+1)]\geqslant ny(y+1)\iff y^2(2-n)\geqslant n(3y+2)>0$
Kéo theo $n=1\implies x^2+y^2=x+y+xy+1\iff (x+y)(x+y-1)=2xy+1$ ( vô lí vì VT chẵn mà VP lẻ)
Kết luận: Không tồn tại $n$ nguyên dương thỏa mãn $\blacksquare$
Kết quả bài toán được sử dụng trong việc giải bài toán sau đây
(SL 2k9) Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại bộ số nguyên dương $(a_1,a_2,..,a_n)$ sao cho $a_{k+1}=\frac{a_k^2+1}{a_{k-1}+1}-1,k=\overline{1,n}$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh