Cho số nguyên dương $n$ thỏa mãn $2+2\sqrt{12n^2+1}$ là số nguyên. Chứng minh $2+2\sqrt{12n^2+1}$ là số chính phương.
Chứng minh $2+2\sqrt{12n^2+1}$ là số chính phương.
Bắt đầu bởi The Flash, 09-10-2016 - 15:46
#2
Đã gửi 09-10-2016 - 16:33
BuiHoa
-
- Thành viên mới
-
- 2 Bài viết
Lính mới
Để T là số nguyên thì 12n2 +1 phải là số chính phương lẻ
Đặt 12n2 +1 = (2k -1)2 (k thuộc N)
<=> 12n2 +1 = 4k2 - 4k +1
<=> 12n2 = 4k2 - 4k
<=> 3n2 = k(k-1)
=> k(k - 1) chia hết cho 3 => k chia hết cho 3 hoặc k-1 chia hết cho 3
+) Nếu k $\vdots$ 3 => n2 =(k/3).(k-1) Mà (k/3 ; k-1 )= 1 nên đặt k/3 = x2 => k = 3x2
và đặt k-1 = y2 => k = y2 +1
=> 3x2 = y2 +1 đồng dư với 2 ( mod 3)
Vô lý vì 1 số chính phương chia cho 3 chỉ dư 0 hoặc 1
+) Nếu k-1 $\vdots$ 3:
=> n2 = k.(k-1)/3 Mà ( k; (k-1)/3) =1 nên đặt k = z2 và (k-1)/3 = t2
=> T=........= 2+ 2(2k -1) = 4k = 4z2 =(2z)2 là 1 số chính phương
=> đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BuiHoa: 09-10-2016 - 16:41
- Haton Val, Fabffriver và HenryTung thích
#3
Đã gửi 09-10-2016 - 17:18
Minh Hieu Hoang
-
- Banned
-
- 307 Bài viết
Sĩ quan
Để T là số nguyên thì 12n2 +1 phải là số chính phương lẻ
Đặt 12n2 +1 = (2k -1)2 (k thuộc N)<=> 12n2 +1 = 4k2 - 4k +1
<=> 12n2 = 4k2 - 4k
<=> 3n2 = k(k-1)
=> k(k - 1) chia hết cho 3 => k chia hết cho 3 hoặc k-1 chia hết cho 3
+) Nếu k $\vdots$ 3 => n2 =(k/3).(k-1) Mà (k/3 ; k-1 )= 1 nên đặt k/3 = x2 => k = 3x2
và đặt k-1 = y2 => k = y2 +1
=> 3x2 = y2 +1 đồng dư với 2 ( mod 3)
Vô lý vì 1 số chính phương chia cho 3 chỉ dư 0 hoặc 1
+) Nếu k-1 $\vdots$ 3:
=> n2 = k.(k-1)/3 Mà ( k; (k-1)/3) =1 nên đặt k = z2 và (k-1)/3 = t2
=> T=........= 2+ 2(2k -1) = 4k = 4z2 =(2z)2 là 1 số chính phương
=> đpcm
tại sao lại đồng dư 2 (mod 3) nhỉ . phải là đồng dư 0 chứ !?!
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
#4
Đã gửi 09-10-2016 - 19:17
NTMFlashNo1
-
- Thành viên
-
- 344 Bài viết
Sĩ quan
Cho số nguyên dương $n$ thỏa mãn $2+2\sqrt{12n^2+1}$ là số nguyên. Chứng minh $2+2\sqrt{12n^2+1}$ là số chính phương.
$2+2\sqrt{12n^2+1}$ là số nguyên khi và chỉ khi 12n2 +1 phải là số chính phương lẻ .
Đặt $\sqrt{2n^{2}+1}=m\in Z+$
$\Rightarrow 12n^{2}=m^{2}-1\vdots 4$
$\Rightarrow m=2k+1\in Z$
$\Rightarrow 12n^{2}=4k\left ( k+1 \right )$
$\Rightarrow 3n^{2}=k\left ( k+1 \right )\vdots 3$
$\Rightarrow k\vdots 3$ hoặc $k+1\vdots 3$
Xét k=3q$\in Z$ $\Rightarrow n^{2}=q\left ( 3q+1 \right )$
mặt khác (3q+1;q)=1
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} q &=a^{2} \\ 3q+1& =b^{2} \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow 3q^{2}+1=b^{2}$
Ta có $2+2\sqrt{12n^2+1}$=2+2m=$4b^{2}$
tương tự vs k+1 chia hết cho 3
$\boxed{\text{Nguyễn Trực-TT-Kim Bài secondary school}}$
#5
Đã gửi 09-10-2016 - 20:11
BuiHoa
-
- Thành viên mới
-
- 2 Bài viết
Lính mới
tại sao lại đồng dư 2 (mod 3) nhỉ . phải là đồng dư 0 chứ !?!
3x2 = y2 +1 => y2 = 3x2 -1 $\equiv$ -1 (mod 3) <=> y2 $\equiv$ 2 (mod 3)
#6
Đã gửi 22-11-2016 - 22:19
OldMemories
-
- Thành viên
-
- 53 Bài viết
Hạ sĩ
Đề thi chuyên Toán Hà Nội 2015-2016
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
