Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Olympic Toán Giải tích Học viện KTQS vòng 2 năm 2011

olympic toán sinh viên

  • Please log in to reply
Chưa có bài trả lời

#1 math2

math2

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 7 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Viet Nam

Đã gửi 09-10-2016 - 21:49

Câu 1: Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[0,1]$ $f(0)=f(1)$. Chứng minh rằng $\forall n \in \mathbb{N}^*$, $\exists c \in [0,1]$, $f(c)= f\left( \dfrac{cn+1}{n}\right)$.

Câu 2: Cho dãy $\{\varepsilon\}$ dãy số gồm các phần tử nhận một trong ba giá trị $-1,0,1$. Chứng minh công thức sau: $\varepsilon_1 +\sqrt{2+\varepsilon_2\sqrt{2+\dots+\varepsilon_n\sqrt{2}}}=2 \sin \left(\dfrac{\pi}{4}\sum\limits_{k=1}^n \dfrac{\varepsilon_1\varepsilon_2\dots \varepsilon_n}{2^{k-1}}\right)$, $n \in \mathbb{N}$. Từ đó suy ra giới hạn của dãy số sau $a_n = \varepsilon_1 +\sqrt{2+\varepsilon_2\sqrt{2+\dots+\varepsilon_n\sqrt{2}}}$.

Câu 3: Tìm $x$ để giới hạn sau tồn tại tính giới hạn đấy $\lim\limits_{n \to \infty} \prod\limits_{k=0}^n \left(1 + \dfrac{2}{x^{2^k}+x^{-2^k}} \right)$.

Câu 4: Giả sử rằng $\{a_n\}$ hội tụ tới 1. Tính giới hạn sau đây với số tự nhiên $p\geq 2$ $\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[p]{1+a_n}-1}{a_n}$

Câu 5:

a. Chứng minh rằng nếu dãy $\{a_n\}$ thỏa mãn điều kiện $\lim\limits_{n \to \infty}(a_{n+1}-a_n)=a$ thì ta cũng $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n}=a.$

b. Chứng minh rằng $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^2 -\sin^2 x}{x^2\sin^2 x} = \dfrac{1}{3}$.

c. Sử dụng kết quả trên chứng minh dãy số $\{a_n\}$ cho bởi $0<a_1< \pi, a_{n+1} =\sin a_n$  thỏa mãn $\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt{n} a_n =\sqrt{3}.$

Câu 6: Cho dãy số bởi công thức truy hồi $a_1=0, a_{n+1} = 1-\sin (a_n-1)$. Tính giới hạn $\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n a_k$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi math2: 09-10-2016 - 22:03






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh