Chủ đề này có 5 trả lời

[Uchiha sisui]

Cho các số thực dương a,b,c sao cho $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$.Chứng minh rằng : $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq \frac{9}{a+b+c}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Uchiha sisui: 10-10-2016 - 13:49

[Senju Hashirama]

Ta có : $\sum \frac{a}{b}\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^2}{ab+bc+ca}$

Ta cần chứng minh :$(a+b+c)^3\geq 9(ab+bc+ca)=\sqrt{27\left ( a^2+b^2+c^2 \right )\left ( ab+bc+ca \right )^2}$

Dễ thấy : $\sqrt{27\left ( a^2+b^2+c^2 \right )(ab+bc+ca)^2}\leq \sqrt{\left ( a+b+c \right )^6}=(a+b+c)^3$

 Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Senju Hashirama: 13-10-2016 - 20:24

[Death Note]

Ta có : $\sum \frac{a}{b}\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^2}{ab+bc+ca}$

Ta cần chứng minh :$(a+b+c)^3\geq 9(ab+bc+ca)=\sqrt{27\left ( a^2+b^2+c^2 \right )\left ( ab+bc+ca \right )^2}$

Dễ thấy : $\sqrt{27\left ( a^2+b^2+c^2 \right )(ab+bc+ca)^2}\leq \sqrt{\left ( a+b+c \right )^6}=(a+b+c)^3$

 Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

bạn nói rõ hơn chỗ này đc ko

[LinhToan]

Ta có : $\sum \frac{a}{b}\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^2}{ab+bc+ca}$

Ta cần chứng minh :$(a+b+c)^3\geq 9(ab+bc+ca)=\sqrt{27\left ( a^2+b^2+c^2 \right )\left ( ab+bc+ca \right )^2}$

Dễ thấy : $\sqrt{27\left ( a^2+b^2+c^2 \right )(ab+bc+ca)^2}\leq \sqrt{\left ( a+b+c \right )^6}=(a+b+c)^3$

 Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

bạn có thể giải thích rõ ràng hơn được ko?

mấy phần cm và dễ thấy đó!

[Dark Repulsor]

bạn có thể giải thích rõ ràng hơn được ko?

mấy phần cm và dễ thấy đó!

Chỗ cần c/m là nhân chéo lên thôi

Còn chỗ dễ thấy là bđt $AM-GM$

[LinhToan]

Chỗ cần c/m là nhân chéo lên thôi

Còn chỗ dễ thấy là bđt $AM-GM$

???