Chủ đề này có 2 trả lời

[phamhuy1801]

Cho △ABC nhọn, đường cao BD, CE cắt nhau tại H. Đường tròn đường kính AB cắt CE tại G, đường tròn đường kính AC cắt BD tại F. CF cắt BG tại I, EF cắt BG tại M, DG cắt CF tại N. DG cắt EF tại K. Chứng minh:

a, Ba điểm A,I,K cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với FG.

b, HI, EN, DM đồng quy.

[Phung Quang Minh]

 

Cho △ABC nhọn, đường cao BD, CE cắt nhau tại H. Đường tròn đường kính AB cắt CE tại G, đường tròn đường kính AC cắt BD tại F. CF cắt BG tại I, EF cắt BG tại M, DG cắt CF tại N. DG cắt EF tại K. Chứng minh:

a, Ba điểm A,I,K cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với FG.

b, HI, EN, DM đồng quy.

 

a) -Ta có: FA^2= AD.AC= AE.AB= AG^2 => FA=AG => FI=IG (góc AFI=góc AGI=90 độ).                                                                                                                             -Ta lại có:góc AFK= 180 độ- góc AFE= 180 độ- góc ACE=90 độ+ góc BAC (Do tứ giác AEFC nội tiếp).                                                                                                 -Tương tự,ta cũng có góc AGK=90 độ+góc BAC => góc AFK= góc AGK => FK=KG (Do FA=AG).

    => A;I;K cùng nằm trên đường trung trực của FG=> đpcm 

[Phung Quang Minh]

 

Cho △ABC nhọn, đường cao BD, CE cắt nhau tại H. Đường tròn đường kính AB cắt CE tại G, đường tròn đường kính AC cắt BD tại F. CF cắt BG tại I, EF cắt BG tại M, DG cắt CF tại N. DG cắt EF tại K. Chứng minh:

a, Ba điểm A,I,K cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với FG.

b, HI, EN, DM đồng quy.

 

b) - Ta có: góc MFI= góc NGI (cùng = góc ABC) => tứ giác MFGN nội tiếp => MI=IN (Do FI=GI)                                                                                                               - Gọi EN cắt HI tại P; AH cắt BC tại Q .Ta cần chứng minh cho M;P;D thẳng hàng <=> (IP/PH). (HD/DB). (BM/MI)= 1 (Định lý Menelaus) <=> (HD/DB). (BM/MI)= (HE/EC).(CN/NI)     

       <=> (HE/EC). (DB/HD)= BM/CN (Do MI=IN) <=> BM/CN= (BA/CA).(BE/CD) <=> (BM/BE).(CD/CN) =BA/CA (1).

    -Ta lại có: +) BM/BE = sin BEF/ sin BME= sin ACF/ sin FMI.                                                           

                    +) CN/CD= sin CDG/ sin CND= sin ABG/ sin ING.        

    => (BM/BE).(CD/CN)= ( sin ACF/ sin FMI). ( sin ING/ sin ABG)= sin ACF/ sin ABG (Do góc FMI= góc ING).

    => (BM/BE).(CD/CN)= (AF/AC)/ (AG/AB)   => (BM/BE).(CD/CN)= AB/AC

    => (1) đúng  => (IP/PH). (HD/DB). (BM/MI)= 1 => M;P;D thẳng hàng => đpcm.