Bài 1
Cho a,b,c dương thoả mãn $a+b+c=3$
Chứng minh
$abc+\frac{12}{ab+bc+ca}\geq 5$
Bài 2
Cho a,b,c dương thoả mãn $a^2+b^2+c^2=3$
Chứng minh
$12+9abc\geq 7(ab+bc+ca)$
Bài 1:
Đặt $ a+b+c=p=3, ab+bc+ac=q, abc=r $
ta thấy $ q \le 3 $
BĐT cần chứng minh trở thành
$ r + \dfrac{12}{q} \ge 5 $
Theo BĐT Schur bậc 4 ta có: $ r \ge \dfrac{(4q-p^2)(p^2-q)}{6p}=\dfrac{(4q-9)(9-q)}{6p}=\dfrac{45q-4q^2-81}{18} $
$ \Longrightarrow \dfrac{45q-4q^2-81}{18} + \dfrac{12}{q} \ge 5 $
$ \iff (q-3)(4q^2-33q+72) \le 0 $ đúng với $ q \in (0;3] $
suy ra đpcm
Bài 2
Cho a,b,c dương thoả mãn $a^2+b^2+c^2=3$
Chứng minh
$12+9abc\geq 7(ab+bc+ca)$
Sử dụng p,q,r và bất đẳng thức Schur.
Trước hết xin phát biểu không chứng minh bất đẳng thức đơn giản sau $9r\geq p(4q-p^2)$
Bất đẳng thức cần chứng minh tương với
$12+9r\geq 7q$
Sử dụng bất đẳng thức đã nêu ở trên, ta có
$12+9r> 12+p(4q-p^2)=12+p^3-6p$
Lúc này, nhận thấy bài toán sẽ được giải quyết nếu ta chứng minh được $12+p^3-6p\geq 7.\frac{p^2-3}{2}\Leftrightarrow (p-3)^2(2p+5)\geq 0$ (đúng)
Như vậy $12+9abc\geq 7(ab+bc+ca)$ (Q.E.D)
"Đừng khóc, Alfred! Anh cần có đủ nghị lực để chết ở tuổi hai mươi"
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq ab^{3}+bc^{3}+ca^{3}$Bắt đầu bởi Explorer, 24-08-2022 bất đẳng thức, cô si, ba biến và . |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
$$\prod\limits_{cyc}\sqrt{a}\,(\sqrt{a}-\sqrt{b})\,(\sqrt{3\,a}-\sqrt{2\,b})\geqq0$$Bắt đầu bởi DOTOANNANG, 12-06-2018 inequality, schur, sos |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
$$\sum \left [ f(x,y,z)(x-y)\prod (x-y) \right ]= g(x,y,z)\prod (x-y)^{2}$$Bắt đầu bởi DOTOANNANG, 12-06-2018 inequality, equality, đẳng thức và . |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
$$\frac{(a-b)(b-c)}{ac}+\frac{(b-c)(c-a)}{ba}+\frac{(c-a)(a-b)}{cb} \le 0$$Bắt đầu bởi DOTOANNANG, 04-04-2018 schur, inequality |
|
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh