Chủ đề này có 3 trả lời

[Element hero Neos]

Bài 1

Cho a,b,c dương thoả mãn $a+b+c=3$

Chứng minh 

$abc+\frac{12}{ab+bc+ca}\geq 5$

Bài 2

Cho a,b,c dương thoả mãn $a^2+b^2+c^2=3$

Chứng minh

$12+9abc\geq 7(ab+bc+ca)$

[anhquannbk]

Bài 1:

Đặt $ a+b+c=p=3, ab+bc+ac=q, abc=r $

ta thấy $ q \le 3 $

BĐT cần chứng minh trở thành

$ r + \dfrac{12}{q} \ge 5 $

Theo BĐT Schur bậc 4 ta có: $ r \ge \dfrac{(4q-p^2)(p^2-q)}{6p}=\dfrac{(4q-9)(9-q)}{6p}=\dfrac{45q-4q^2-81}{18} $

$ \Longrightarrow \dfrac{45q-4q^2-81}{18} + \dfrac{12}{q} \ge 5 $

$ \iff (q-3)(4q^2-33q+72) \le 0 $ đúng với $ q \in (0;3] $

suy ra đpcm

[hanguyen445]

Bài 1:(góp c)

 

Hình gửi kèm

• 

[toannguyenebolala]

 

Bài 2

Cho a,b,c dương thoả mãn $a^2+b^2+c^2=3$

Chứng minh

$12+9abc\geq 7(ab+bc+ca)$

Sử dụng p,q,r và bất đẳng thức Schur.

Trước hết xin phát biểu không chứng minh bất đẳng thức đơn giản sau $9r\geq p(4q-p^2)$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương với 

$12+9r\geq 7q$

Sử dụng bất đẳng thức đã nêu ở trên, ta có 

$12+9r> 12+p(4q-p^2)=12+p^3-6p$

Lúc này, nhận thấy bài toán sẽ được giải quyết nếu ta chứng minh được $12+p^3-6p\geq 7.\frac{p^2-3}{2}\Leftrightarrow (p-3)^2(2p+5)\geq 0$ (đúng)

Như vậy $12+9abc\geq 7(ab+bc+ca)$ (Q.E.D)