20 replies to this topic

[I Love MC]

Edited by I Love MC, 12-10-2016 - 12:28.

[ecchi123]

Bài Hình : Có $OK$ l;à điểm miquel của tứ giác toàn phần $ABCMN$ , có vài cái tứ giác nội tiếp , cộng góc chắc dc :v

[Baoriven]

Câu 1:

Điều kiện: $\left\{\begin{matrix}x^2+y\geq 0 \\ 5^x< \frac{131x}{3}+2 \end{matrix}\right.$.

Đánh giá phương trình $(1)$, ta được:

$VT\leq x^2+2x+1+x^2+y-2\Leftrightarrow (2x-y+1)^2\leq 0$.

Suy ra: $y=2x+1$. Thế vào phương trình $(2)$ ta được:

$2^x+5^x+\frac{1}{3}x-2-44log_2(2+\frac{131x}{3}-5^x)=0$.

Xét $f(x)=2^x+5^x+\frac{1}{3}x-2-44log_2(2+\frac{131x}{3}-5^x)$.

Ta có: $f''(x)=0$ vô nghiệm nên $f(x)=0$ có tối đa $2$ nghiệm.

May mắn ta nhẩm được $2$ nghiệm: $x=0;x=3$.

[Namthemaster1234]

Bài Hình : Có $OK$ l;à điểm miquel của tứ giác toàn phần $ABCMN$ , có vài cái tứ giác nội tiếp , cộng góc chắc dc :v

Bài hình chỉ cần gọi T là giao của BD là MN thì (BDTE)=-1 là có đpcm

[tay du ki]

Bài hình chỉ cần gọi T là giao của BD là MN thì (BDTE)=-1 là có đpcm

bạn giải đi bạn ! mình cũng đang bí

[lamvienckt13]

Câu 4:

Gọi I là giao điểm của BD và MN
ta có (B,D,E,T)= -1
áp dụng định lý Brocard cho tứ giác toàn phần ABCDMN => OK vuông góc với MN
Do đó EK là phân giác góc BKD

[Minhnguyenthe333]

...

Edited by Minhnguyenthe333, 12-10-2016 - 21:57.

[Ego]

Câu 3. Từ CTTH, có $a_{n + 1} - 27 = (a_{n} - 27)(2a_{n} + 1)^{2}$. Do đó $a_{n} - 27 = (a_{1} - 7)\left(\prod_{k = 1}^{n - 1}2a_{k} + 1\right)^{2} = 7\left(\prod_{k = 1}^{n - 1}2a_{k} + 1\right)^{2}$. Do đó $a_{n} + 1 = 7\left[\left(\prod_{k = 1}^{n - 1}2a_{k} + 1\right)^{2} + 4\right]$.
Xét $p\in \mathbb{P}\mid \left(\prod_{k = 1}^{n - 1}2a_{k} + 1\right)^{2} + 4$ (dĩ nhiên ta thấy chỉ có $p$ lẻ). Ta có $\left(\frac{-4}{p}\right) = 1 \iff \left(\frac{-1}{p}\right) = 1$ hay $p \equiv 1\pmod{4}$
Do đó số cần tìm là $7$.

P.S: Lâu quá không lên :3

Edited by Ego, 12-10-2016 - 22:37.

[I Love MC]

Câu 3. Từ CTTH, có $a_{n + 1} - 27 = (a_{n} - 27)(2a_{n} + 1)^{2}$. Do đó $a_{n} - 27 = (a_{1} - 7)\left(\prod_{k = 1}^{n - 1}2a_{k} + 1\right)^{2} = 7\left(\prod_{k = 1}^{n - 1}2a_{k} + 1\right)^{2}$. Do đó $a_{n} + 1 = 7\left[\left(\prod_{k = 1}^{n - 1}2a_{k} + 1\right)^{2} + 4\right]$.
Xét $p\in \mathbb{P}\mid \left(\prod_{k = 1}^{n - 1}2a_{k} + 1\right)^{2} + 4$ (dĩ nhiên ta thấy chỉ có $p$ lẻ). Ta có $\left(\frac{-4}{p}\right) = 1 \iff \left(\frac{-1}{p}\right) = 1$ hay $p \equiv 1\pmod{4}$
Do đó số cần tìm là $7$.

P.S: Lâu quá không lên :3

[lenhatsinh3]

[tay du ki]

Bai bat nua thi sao nhi

[Kamii0909]

Câu bất 

Đặt A=3 hạng tử đầu

$\sum \frac{ab}{3a+4b+5c}= 2\sum \frac{ab}{6a+8b+10c}\leq \frac{1}{72}\sum \left ( 5\frac{ab}{a+c}+5\frac{ab}{a+c}+4\frac{ab}{a+3b} \right )$ 

$A\leq \frac{5}{72}\left ( a+b+c \right )+\frac{1}{72}\left ( a+b+c \right )= \frac{1}{12}\left ( a+b+c \right )= \frac{3}{4}$

AD bất đẳng thức AM-GM

$4(a+b+c)=3a+(a+2c)+3b+(b+2c)\geq 4\sqrt[4]{9ab(a+2c)(b+2c)}$

$\Leftrightarrow \sqrt{ab(a+2c)(b+2c)}\leq 27\Rightarrow VT\leq \frac{77}{108}$

[takarin1512]

Câu 3. Từ CTTH, có $a_{n + 1} - 27 = (a_{n} - 27)(2a_{n} + 1)^{2}$. Do đó $a_{n} - 27 = (a_{1} - 7)\left(\prod_{k = 1}^{n - 1}2a_{k} + 1\right)^{2} = 7\left(\prod_{k = 1}^{n - 1}2a_{k} + 1\right)^{2}$. Do đó $a_{n} + 1 = 7\left[\left(\prod_{k = 1}^{n - 1}2a_{k} + 1\right)^{2} + 4\right]$.
Xét $p\in \mathbb{P}\mid \left(\prod_{k = 1}^{n - 1}2a_{k} + 1\right)^{2} + 4$ (dĩ nhiên ta thấy chỉ có $p$ lẻ). Ta có $\left(\frac{-4}{p}\right) = 1 \iff \left(\frac{-1}{p}\right) = 1$ hay $p \equiv 1\pmod{4}$
Do đó số cần tìm là $7$.

P.S: Lâu quá không lên :3

Mình không hiểu ký hiệu chỗ màu đỏ lắm, bạn nào giải thích giùm mình với.

[anh3798571]

giúp mình câu này với ạ: Cho dãy Xn xác định:

 

X1= 2013

 $x_{n+1}= \frac{x^{2}_{n}+8}{2(x_{n}-1)}$ 

n thuộc N^*

Chứng minh (Xn) có giới hạn 

[tay du ki]

Câu bất 

Đặt A=3 hạng tử đầu

$\sum \frac{ab}{3a+4b+5c}= 2\sum \frac{ab}{6a+8b+10c}\leq \frac{1}{72}\sum \left ( 5\frac{ab}{a+c}+5\frac{ab}{a+c}+4\frac{ab}{a+3b} \right )$ 

$A\leq \frac{5}{72}\left ( a+b+c \right )+\frac{1}{72}\left ( a+b+c \right )= \frac{1}{12}\left ( a+b+c \right )= \frac{3}{4}$

AD bất đẳng thức AM-GM

$4(a+b+c)=3a+(a+2c)+3b+(b+2c)\geq 4\sqrt[4]{9ab(a+2c)(b+2c)}$

$\Leftrightarrow \sqrt{ab(a+2c)(b+2c)}\leq 27\Rightarrow VT\leq \frac{77}{108}$

mình không hiểu chỗ màu đỏ lắm

[Kamii0909]

mình không hiểu chỗ màu đỏ lắm

Bạn ghép vào thôi

 $\sum \left (\frac{5ab}{a+c}+\frac{5ab}{a+c} \right )=\sum \frac{5ab+5bc}{a+c}=5\sum a$

Mình có làm hơi tắt    Phải AM-GM nữa

 $\sum \frac{4ab}{a+3b}\leq \sum \frac{1}{4}\left ( \frac{ab}{a}+3\frac{ab}{b} \right )$

Bạn ghép 2 tổng lại là ra như mình   

[IHateMath]

Câu 5b. quen quá nhỉ, IMO SL 1995 Ta lập bảng và đếm bằng 2 cách. Đánh số các người là $1,2,\ldots ,12k$ và đặt $h$ là số người bắt tay với $2$ người bất kỳ. Xét bảng ô vuông $12k\times 12k$. Ở ô vuông là giao của dòng $i$, cột $j$ ($i\ne j$), ta điền vào số $1$ nếu $i$ và $j$ bắt tay nhau; số $0$ nếu họ không bắt tay nhau. Các ô nằm trên đường chéo chính để trống (không xét tới). Ta có số cặp số $1$ nằm trên mỗi dòng là $\dbinom{3k+6}{2}=\frac{(3k+6)(3k+5)}{2}$, suy ra toàn bảng có $\frac{12k(3k+6)(3k+5)}{2}$ cặp số $1$ trên các dòng. Mặt khác, vì cứ $2$ cột bất kì thì số cặp số $1$ trên dòng sẽ xuất hiện đúng $h$ lần, nên số cặp số $1$ theo dòng trên toàn bảng sẽ là $h.\dbinom{12k}{2}=\frac{h.12k(12k-1)}{2}$. Vậy nên $\frac{12k(3k+6)(3k+5)}{2}=\frac{h.12k(12k-1)}{2}$ hay tương đương với $9k^2+(33-12h)k+30+h=0$. Giải phương trình này (với $h$, $k$ là các số nguyên dương), ta thu được $k=3$, $h=6$. Vậy có tất cả $36$ người.

[Huyvippro]

bạn giải đi bạn ! mình cũng đang bí

chỉ cần dùng định lý brocard và blanchet mở rộng sẽ ra ngay

[maroon987]

Câu bất 

Đặt A=3 hạng tử đầu

$\sum \frac{ab}{3a+4b+5c}= 2\sum \frac{ab}{6a+8b+10c}\leq \frac{1}{72}\sum \left ( 5\frac{ab}{a+c}+5\frac{ab}{a+c}+4\frac{ab}{a+3b} \right )$ 

$A\leq \frac{5}{72}\left ( a+b+c \right )+\frac{1}{72}\left ( a+b+c \right )= \frac{1}{12}\left ( a+b+c \right )= \frac{3}{4}$

AD bất đẳng thức AM-GM

$4(a+b+c)=3a+(a+2c)+3b+(b+2c)\geq 4\sqrt[4]{9ab(a+2c)(b+2c)}$

$\Leftrightarrow \sqrt{ab(a+2c)(b+2c)}\leq 27\Rightarrow VT\leq \frac{77}{108}$

Đoạn này anh dùng bất đẳng thức gì vậy,em không hiểu lắm ?

[Drago]

Ảnh bị die nên mình đăng đề lại tại đây, khi nào có thời gian sẽ gõ ạ