Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH NINH BÌNH NĂM 2016-2017


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 18 trả lời

#1 Dark Repulsor

Dark Repulsor

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 184 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHBK - ĐHQG TP.HCM
  • Sở thích:Geometry, Inequality, Light Novel, W&W

Đã gửi 14-10-2016 - 01:27

Ngày $1$:

 

Bài $1$: Giải hpt: $\left\{\begin{matrix} & y^3+4x^2y+3xy^2=x^6+3x^5+4x^4 & \\ & \sqrt{x^2+3}+\sqrt{3y+1}=4 &\end{matrix}\right.$

Bài $2$: Cho dãy số $(x_{n})$ xác định bởi hệ thức: $\left\{\begin{matrix} & x_{1}=1 & \\ & x_{n+1}=\sqrt{x_{n}(x_{n}+1)(x_{n}+2)(x_{n}+3)+1} & \end{matrix}\right.$ $\forall n\in\mathbb{N^{*}}$

Đặt $y_{n}=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_{i}+2}$ $\forall n\in\mathbb{N^{*}}$. Tính $\lim_{n\rightarrow +\infty} y_{n}$

Bài $3$: Cho $\triangle ABC$. Đường tròn $(O)$ đi qua $A$ và $C$ cắt các cạnh $AB,BC$ tại $K,N$. Đường tròn $(KBN)$ cắt đường tròn $(ABC)$ tại $B$ và $M$. Tính $\angle BMO$

Bài $4$: Tìm $k_{max}\in\mathbb{N^{*}}$ sao cho ta có thể phân hoạch tập hợp các số nguyên dương thành $k$ tập hợp $A_{1},A_{2},...,A_{k}$ thỏa mãn với mỗi $n\in\mathbb{N^{*}}, n>14$, trog mỗi tập $A_{i}$ $i=\overline{1,k}$ đều tồn tại $2$ số có tổng bằng $n$

 

Ngày $2$:

Bài $5$: Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $\sum x=3$. CMR: $\sum\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\geq 4\sum\frac{1}{x+7}$

Bài $6$: CMR: Với mỗi số $m\in\mathbb{N^{*}}$, luôn tồn tại vô số số $n\in\mathbb{N^{*}}$ thỏa mãn $(3.2^n+n)\vdots m$

Bài $7$: Cho $\triangle ABC$ và điểm $(O)$ nằm trog $\triangle ABC$ Đường thẳng $d_{1}$ đi qua $O$ song song với $BC$ lần lượt cắt $AB,AC$ tại $J,G$. Đường thẳng $d_{2}$ đi qua $O$ song song với $CA$ lần lượt cắt $BC,CA$ tại $F,J$. Đường thẳng $d_{3}$ đi qua $O$ song song với $AB$ lần lượt cắt $CA,CB$ tại $H,E$. Dựng các hbh $OEA_{1}F,OGB_{1}H,OIC_{1}J$. CMR: Các đường thẳng $AA_{1},BB_{1},CC_{1}$ đồng quy

Bài $8$: Cho hàm số $f:\mathbb{N^{*}}\rightarrow\mathbb{N^{*}}$ thỏa mãn các điều kiện sau:

      $1)$ $f(m)<f(n)$ $\forall m,n\in\mathbb{N^{*}}; m<n$

      $2)$ $f(mn)=f(m)f(n)$ $\forall m,n\in\mathbb{N^{*}}; (m,n)=1$

      $3)$ $\exists i\in\mathbb{N^{*}}, i>1$ sao cho $f(i)=i$

$a)$ CMR: $f(1)=1$ , $f(3)=3$

$b)$ Tìm tất cả các hàm $f(n)$ thỏa mãn yêu cầu bt

 

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dark Repulsor: 14-10-2016 - 23:27


#2 superpower

superpower

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 492 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-10-2016 - 11:45

Ngày $1$:

 

Bài $1$: Giải hpt: $\left\{\begin{matrix} & y^3+4x^2y+3xy^2=x^6+3x^5+4x^4 & \\ & \sqrt{x^2+3}+\sqrt{3y+1}=4 &\end{matrix}\right.$

Bài $2$: Cho dãy số $(x_{n})$ xác định bởi hệ thức: $\left\{\begin{matrix} & x_{1}=1 & \\ & x_{n+1}=\sqrt{x_{n}(x_{n}+1)(x_{n}+2)(x_{n}+3)+1} & \end{matrix}\right.$ $\forall n\in\mathbb{N^{*}}$

Đặt $y_{n}=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_{i}+2}$ $\forall n\in\mathbb{N^{*}}$. Xác định giới hạn của dãy số $(y_{n})$

Bài $5$: Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $\sum x=3$. CMR: $\sum\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\geq 4\sum\frac{1}{x+7}$

 

 

Bài 1: 

$\left\{\begin{matrix} & y^3+4x^2y+3xy^2=x^6+3x^5+4x^4 & \\ & \sqrt{x^2+3}+\sqrt{3y+1}=4 &\end{matrix}\right.$

Từ $pt(1)$ ta phân tích thành nhân tử

$(y-x^2)(y^2+(x^2+3x)y + x^4+3x^3+4x^2) =0 $

Mà pt $y^2+(x^2+3x)y + x^4+3x^3 + 4x^2  =0 $ 

có $\triangle = (x^2+3x)^2 - 4(x^4+3x^3+4x^2 ) = -x^2(3x^2+6x+7 ) > 0 $

Do đó $y^2+(x^2+3x)y + x^4+3x^3 + 4x^2  >0 $

Do đó ta chỉ nhận $y=x^2 $ 

Do đó, thế vô lại pt $(2)$, ta được

$\sqrt{y+3} + \sqrt{3y+1} =4 $

Mà ta có $f'(y) = \frac{1}{2\sqrt{y+3} } + \frac{3}{2\sqrt{3y+1}} >0 $

Mà có $f(1) =0 => x=y=1 $ là nghiệm duy nhất của pt 

 

Bài 2: 

Từ pt đề bài ta suy ra 

$x_{n+1}^2  = (x_n^2 + 3x_n)(x_n^2+3x_n +2) +1 = (x_n^2+3x_n +1)^2 $

Mà do $x_n >0 $ nên $x_{n+1} = x_n^2 + 3x_n+1 $

Bằng biến đổi chút chút, ta suy ra được 

$\frac{1}{x_i+2} = \frac{1}{x_i+1} - \frac{1}{x_{i+1} +1 } $ 

Tới đây quen thuộc rồi

Ta chứng minh được $x_n $ tăng và không bị chặn trên 

Do đó $lim x_n =  +\infty $

Do đó rút gọn sai phân là ra 

 

Bài 5

Ta có $\frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{y} } \geq \frac{2}{x+y+2} = \frac{2}{5-z} $ 

Do đó, ta cần chứng minh bđt sau là đủ

$\frac{2}{5-x} -\frac{4}{x+7} \geq \frac{3}{16} x -\frac{3}{16} $ 

Biến đổi tương đương trở thành 

$(x-1)^2 .\frac{x+3}{16(5-x)(x+7) } \geq 0 $ hiển nhiên đúng do $ x <3 $

Do đó cộng lại ta có đpcm 



#3 hoangvunamtan123

hoangvunamtan123

    Trung sĩ

  • Banned
  • 107 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế
  • Sở thích:làm toán

Đã gửi 14-10-2016 - 11:57

$x_{n+1}=\sqrt{(x_n^2+3x_n+1)^2}=x_n^2+3x_n+1\rightarrow x_{n+1}+1=(x_n+1)(x_n+2)\rightarrow \frac{1}{x_{n+1}+1}=\frac{1}{x_n+1}-\frac{1}{x_n+2}$ suy ra $\frac{1}{x_n+2}=\frac{1}{x_n+1}-\frac{1}{x_{n+1}+1}\rightarrow y_n=\frac{1}{x_1+1}-\frac{1}{x_{n+1}+1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{x_{n+1}+1}$ 

ta có $\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{1}{x_{n+1}+1}=0\rightarrow \lim_{x\rightarrow \infty }y_n=\frac{1}{2}$

mình làm hơi tắt 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangvunamtan123: 14-10-2016 - 11:58


#4 anhquannbk

anhquannbk

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 477 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{ K17-FIT-HCMUS}$
  • Sở thích:$ \textrm{GEOMETRY} $, $ \textrm{Central Intelligence Agency}$

Đã gửi 14-10-2016 - 13:36

Bài 3: Bổ đề: Cho tứ giác toàn phần nội tiếp $(O)$ $ ABCDEF$, $ AC$ giao $ BD$ tại $ I$. Khi đó $ IO \perp EF$ đồng thời giao điểm của $ IO$ với $ EF$ cũng là điểm $ Miquel $ của tứ giác toàn phần $ ABCDEF$

Ta có $ MB, KN, AC $ là các trục đẳng phương của các cặp đường tròn $ (KBN), (ABC) $, $ (O), (KBN)$, $ (O), (ABC)$ nên chúng đồng quy, gọi điểm đồng quy này là $ S$.

Ta có $ M$ là điểm $ Miquel $ của tứ giác toàn phần nội tiếp $ AKNCSB$ nên theo bổ đề ta có $ \angle OMB =90^0$



#5 Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1395 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{ĐH Quốc Gia Hà Nội}$ $\textrm{Trường ĐH Công Nghệ}$
  • Sở thích:$\textrm{Làm Những Gì Mình Thích}$

Đã gửi 14-10-2016 - 14:57

 

Ngày $2$:

Bài $5$: Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $\sum x=3$. CMR: $\sum\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\geq 4\sum\frac{1}{x+7}$

 

 

$\sum \frac{4}{x+7}=\sum \frac{4}{(x+y+2)+(x+z+2)}\leq \sum \frac{2}{x+y+2}=\sum \frac{2}{(x+1)+(y+1)}\leq \sum \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$



#6 Senju Hashirama

Senju Hashirama

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 69 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Inequality , Functional equations ,
    Polynomial , Naruto

Đã gửi 14-10-2016 - 19:34

Câu hàm điều kiện (3) và câu a  kì vậy, có phải sai đề ko nhỉ 



#7 Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1395 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{ĐH Quốc Gia Hà Nội}$ $\textrm{Trường ĐH Công Nghệ}$
  • Sở thích:$\textrm{Làm Những Gì Mình Thích}$

Đã gửi 14-10-2016 - 20:25

Câu hàm điều kiện (3) và câu a  kì vậy, có phải sai đề ko nhỉ 

Đề đúng rồi nhé



#8 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 15-10-2016 - 21:32

Bài 8. (a) Thay $m=n=1$ ta được $f(1)=1$

Do $i>1$ mà $f(i)=i$ nên ta suy ra $f(n)=n$ với mọi $n=\bar{1,i}$

Nếu $i\geqslant 3$ thì $f(3)=3$

Nếu $i=2$ thì $f(2)=2$ và $f(3).f(5)=f(15)<f(18)=f(2).f(9)<2.f(10)=4.f(5)$. Do đó $2<f(3)<4$ nên $f(3)=3$

(b) Xét dãy $(a_n): a_1=3, a_n=a_{n-1}\left(a_{n-1}-1\right)$

Khi đó $f(a_1)=a_1$, nếu $f(a_k)=a_k$ thì $f(a_k-1)=a_k-1$ nên $f(a_{k+1})=f(a_k)f(a_{k}-1)=a_{k+1}$

Mà dãy trên tăng vô hạn nên suy ra $f(n)=n$


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#9 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 15-10-2016 - 23:24

Bài 7. $AA_1$ cắt $BC$ tại $X$, $BB_1$ cắt $AC$ tại $Y$ và $CC_1$ cắt $AB$ tại $Z$

Ta có: $\dfrac{XB}{XC}=\dfrac{XF}{XE}=\dfrac{BF}{CE}$, tương tự ta có: $\dfrac{YC}{YA}=\dfrac{CH}{AG}$ và $\dfrac{ZA}{ZB}=\dfrac{AJ}{BI}$

Do đó $\dfrac{XB}{XC}.\dfrac{YC}{YA}.\dfrac{ZA}{ZB}=\dfrac{AJ}{AG}.\dfrac{BF}{BI}.\dfrac{CH}{CE}=\dfrac{AB}{AC}.\dfrac{BC}{BA}.\dfrac{CA}{CB}=1$

Áp dụng định lý Ceva ta có điều phải chứng minh.


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#10 anh3798571

anh3798571

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 13 Bài viết

Đã gửi 16-10-2016 - 18:32

ai chữa giúp mình câu này với, mình vừa đi thi về không làm được, chán quá:

 Cho (Un)

U1= -8/3

Un+1=(2/3)Un  - 1   n thuộc N*

Tìm Lim(Sn)

Sn= U1+U2+....+Un



#11 quangkhaiolympic

quangkhaiolympic

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 5 Bài viết

Đã gửi 18-10-2016 - 15:56

Câu số học mình có cách dùng quy nạp và sử dụng phi hàm ơ le rất hay :))



#12 IHateMath

IHateMath

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 299 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Olympiad Math & Computer Sci

Đã gửi 20-10-2016 - 09:17

Câu số học mình có cách dùng quy nạp và sử dụng phi hàm ơ le rất hay :))

Bạn có thể nói chi tiết hơn cách làm của bạn được không?



#13 lamntl19

lamntl19

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Bắc Giang
  • Sở thích:chém gió

Đã gửi 21-10-2016 - 00:05

Đầu tiên chứng minh đúng với m=p sau đó quy nạp chứng minh đúng với p^a rồi xét phân tích của m. Dùng hàm euler để chứng minh có vô hạn

#14 Ngu Nguoi 1010

Ngu Nguoi 1010

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 24-10-2016 - 22:32

Bài 5

Ta có $\frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{y} } \geq \frac{2}{x+y+2} = \frac{2}{5-z} $ 

Do đó, ta cần chứng minh bđt sau là đủ

$\frac{2}{5-x} -\frac{4}{x+7} \geq \frac{3}{16} x -\frac{3}{16} $ 

Biến đổi tương đương trở thành 

$(x-1)^2 .\frac{x+3}{16(5-x)(x+7) } \geq 0 $ hiển nhiên đúng do $ x <3 $

Do đó cộng lại ta có đpcm 

Ở bài 5,anh có thể giải thích sao lại có  $\frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{y} } \geq \frac{2}{x+y+2} $ được không ạ


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngu Nguoi 1010: 24-10-2016 - 22:33


#15 IHateMath

IHateMath

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 299 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Olympiad Math & Computer Sci

Đã gửi 11-11-2016 - 20:52

Ở bài 5,anh có thể giải thích sao lại có $\frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{y} } \geq \frac{2}{x+y+2} $ được không ạ

Xem post #5 đi bạn.

#16 Mr Cooper

Mr Cooper

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 496 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Miền cắt trắng
  • Sở thích:$\mathbb{Geometry}$

Đã gửi 11-11-2016 - 20:58

Xem post #5 đi bạn.

Áp dụng bất đẳng thức Cô - Si ta có:

 

\[\frac{1}{{\sqrt x  + \sqrt y }} \ge \frac{1}{{\frac{{x + 1}}{2} + \frac{{y + 1}}{2}}} = \frac{1}{{\frac{{x + y + 2}}{2}}} = \frac{2}{{x + y + 2}}\]



#17 Mr Cooper

Mr Cooper

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 496 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Miền cắt trắng
  • Sở thích:$\mathbb{Geometry}$

Đã gửi 11-11-2016 - 21:00

Ở bài 5,anh có thể giải thích sao lại có  $\frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{y} } \geq \frac{2}{x+y+2} $ được không ạ

Áp dụng Bất Đẳng Thức Cô - Si ta có

 

\[\frac{1}{{\sqrt x  + \sqrt y }} \ge \frac{1}{{\frac{{x + 1}}{2} + \frac{{y + 1}}{2}}} = \frac{1}{{\frac{{x + y + 2}}{2}}} = \frac{2}{{x + y + 2}}\]



#18 nguyenhaan2209

nguyenhaan2209

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 103 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Châu Âu
  • Sở thích:Algebra, Combinatoric, Geometry & Number Theory

Đã gửi 02-09-2018 - 21:11

Bổ đề: Cho $2$ đường tròn $(O_1), (O_2)$ và điểm $M$, $H$ là hình chiếu của $M$ lên tđp của $2$ đg tròn thì $P(M/O1)-P(M/O2)=2O1O2.HM$

Trở lại bài toán: Gọi $M$ là tđ cung $BC$, lấy $O_A$ trên $OM$ sao cho $XO_A=R$, $H$ là hình chiếu của $X$ lên tđp $(O), (O_A)$
Theo bổ đề trên thì  $XB.XC-XD.XK=P(X/O)-P(X/O_A)=2HX.OO_A=2HX.MX$
Vì vậy $HX=\frac{XB.XC-XD.XK}{2XM}=\frac{\frac{a^2}{4}-\frac{(b-c)^2}{4}}{\frac{a}{2}.tanA/2}=\frac{2(p-c)(p-b)}{a.\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)}}}=\frac{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{a}=\frac{S}{a}=\frac{h_a}{2}=DP$ 
Điều đó nghĩa là $O_A$ là tâm $DA_1A_2$ hay $DQ=2DN=2R$ nên $IQ.ID=(2R-r).r$ 
CMTT thì $P(I/DA_1A_2)=P(I/EB_1B2)=P(I/FC_1C_2)$ nên $I$ là tâm đẳng phương và ta có ĐPCM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhaan2209: 02-09-2018 - 21:12


#19 nguyenhaan2209

nguyenhaan2209

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 103 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Châu Âu
  • Sở thích:Algebra, Combinatoric, Geometry & Number Theory

Đã gửi 08-09-2018 - 11:24

Bài $4$: IMO Shortlist $2012$

Bài $6$: Chứng minh bằng quy nạp theo $n$ (Kí hiệu hàm phi bởi $o$)

Giả sử đúng đến $m=k$ tồn tại vô số $n$ để $k|3.2^n+n$

Ta sẽ chứng minh nó đúng với $k+1$ tức tồn tại vô số $s$ để $k+1|3.2^s+s$

Chú ý rằng $o(k+1)<k+1$ nên tồn tại $r$ để $o(k+1)|3.2^r+r$

Ta chọn $s$ sao cho $o(k+1)$, $k+1|s+3.2^u$ (luôn tồn tại theo định lí Thặng dư Trung Hoa)

Nếu $k+1$ chẵn, đặt $k+1=2^a.b$ lúc đó đặt $s=2^c.d$ với $c>a$ do đó $k+1|3.2^u(2^{s-u}-1)$ (do $o(k+1)|s-u$ và $v_2(k+1)<u$) nên $k+1|3.(2^s-2^u)$

Nếu $k+1$ lẻ thì cmtt như trên kết hợp lại ta có $k+1|3(2^s-2^u)$ nên $k+1|3.2^s+s$ từ đó tồn tại $s$, gt quy nạp hoàn tất và ta có ĐPCM






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh