Cho các số thực dương $x, y, z$ thỏa mãn điều kiện: $x+y+z=1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $F=\frac{x^{4}}{(x^{2}+y^{2})(x+y)}+\frac{y^{4}}{(y^{2}+z^{2})(y+z)}+ \frac{z^{4}}{(z^{2}+x^{2})(z+x)}$
Max: $F=\frac{x^{4}}{(x^{2}+y^{2})(x+y)}+\frac{y^{4}}{(y^{2}+z^{2})(y+z)}+ \frac{z^{4
Bắt đầu bởi trungdung19122002, 14-10-2016 - 21:10
#2
Đã gửi 18-10-2016 - 00:23
le truong son
-
- Thành viên
-
- 225 Bài viết
Thượng sĩ
Cho các số thực dương $x, y, z$ thỏa mãn điều kiện: $x+y+z=1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $F=\frac{x^{4}}{(x^{2}+y^{2})(x+y)}+\frac{y^{4}}{(y^{2}+z^{2})(y+z)}+ \frac{z^{4}}{(z^{2}+x^{2})(z+x)}$
Dễ thấy:$\sum \frac{x^4}{(x+y)(x^2+y^2)}-\sum \frac{y^4}{(x+y)(x^2+y^2)}=\sum x-\sum y=0$
=>$\sum \frac{x^4}{(x+y)(x^2+y^2)}=\frac{1}{2}(\sum \frac{x^4}{(x+y)(x^2+y^2)}+\sum \frac{y^4}{(x+y)(x^2+y^2)})=\frac{1}{2} \sum \frac{x^4+y^4}{(x+y)(x^2+y^2)}\geq \frac {1}{4}\sum \frac{(x^2+y^2)^2}{(x+y)(x^2+y^2)}\geq \frac{1}{8}\sum \frac{ (x+y)^2}{x+y}=\frac{1}{8}\sum (x+y)=\frac{1}{4}$
=>đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le truong son: 18-10-2016 - 00:25
- Ngockhanh99k48 yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
