Cho $S(n)$ là tổng các chữ số của $n$. Tìm $n$ sao cho $S(n)$ là ước lớn nhất của $n$ và khác $n$.
Cho $S(n)$ là tổng các chữ số của $n$. Tìm $n$ sao cho $S(n)$ là ước lớn nhất của $n$ và khác $n$.
#1
Đã gửi 15-10-2016 - 10:41
Chúa không chơi trò xúc xắc
God doesn't play die
-Albert Einstein-
#2
Đã gửi 16-10-2016 - 16:49
Tính chất cơ bản: Ước nhỏ nhất (khác $1$) của một số $a$ là một số nguyên dương không vượt quá $\sqrt{a}$.
Từ đây, suy ra nếu $S(n)$ là ước nguyên dương lớn nhất khác $n$ thì $S^2(n)\geq n$ Suy ra nếu $n$ có $t$ chữ số, khi đó điều kiện cần là $(9t)^2\geq 10^{t-1}$. Khi đó dễ CM $t<5$ bằng quy nạp.
+) Nếu $t=4$, $n=\overline{a_1a_2a_3a_4}$, $n\leq 36^2=1296$ nên $a_1=1\Rightarrow n\leq (1+9+9+9)^2=784$ ( vô lý)
+) Nếu $t=1$ thì hiển nhiên vô lý.
+) Nếu $t=2$ Đặt $n=\overline{a_1a_2}$. Cần có $10a_1+a_2=k(a_1+a_2)$, trong đó $k$ là số nguyên tố nhỏ hơn $\sqrt{99}$, tức là $k\leq 9$
Thay $k=2,3,5,7$ vào $\rightarrow a_1,a_2...$
+) Nếu $t=3$ có $\overline{a_1a_2a_3}\leq 729$ nên $a_1\leq 7\rightarrow n\leq (6+9+9)^2=576\Rightarrow a_1\leq 5\rightarrow n\leq 22^2=484$ nên $a_1\leq 4$
Giờ chỉ cần thử các giá trị $a_1=1,2,3,4$ và tiếp tục làm như TH $t=2$ nhưng với biến $a_2,a_3$ ta sẽ tìm được $n$ thỏa mãn.
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh