Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm tất cả các số nguyên dương $(q, r, p),$ với $p$ là số nguyên tố thỏa mãn $2^{q}+r^{2}=2p.$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Zz Isaac Newton Zz

Zz Isaac Newton Zz

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 392 Bài viết

Tìm tất cả các số nguyên dương $(q, r, p),$ với $p$ là số nguyên tố thỏa mãn $2^{q}+r^{2}=2p.$



#2
Chris yang

Chris yang

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 223 Bài viết

Tìm tất cả các số nguyên dương $(q, r, p),$ với $p$ là số nguyên tố thỏa mãn $2^{q}+r^{2}=2p.$

Dễ thấy $p$ lẻ

Từ PT suy ra $r$ chẵn $\Rightarrow 4|r^2$. Thấy $2^{q-1}=p-\frac{r^2}{2}$ lẻ do $p$ lẻ nên $q-1=0\Rightarrow q=1$

Khi đó $r^2=2(p-1)\Rightarrow p-1=2^{2k+1}x^2$ với $k,x\in\mathbb{N}$ hay $p$ có dạng $2^{2k+1}x^2+1$ ( Theo nguyên lí Dirichlet về sự tồn tại vô số số nguyên tố dạng $ak+b$ thì $p$ có vô số giá trị thỏa mãn $3,19,73,163,883....$)

 Vậy $(p,q,r)=(2^{2k+1}x^2+1,1,2^{k+1}x)$ với $k,x\in\mathbb{N}$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh