Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tìm số nguyên dương $n$ lớn nhất sao cho hệ phương trình $(x+1)^{2}+y_{1}^{2}=(x+2)^{2}+y_{2}^{2}=...=(x+n)^{2}+y_{n}^{2}$ c


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Zz Isaac Newton Zz

Zz Isaac Newton Zz

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 395 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán Tin trường ĐH KHTN TP Hồ Chí Minh
  • Sở thích:Algebraic Topology and Algebraic Geometry

Đã gửi 15-10-2016 - 21:34

Tìm số nguyên dương $n$ lớn nhất sao cho hệ phương trình $(x+1)^{2}+y_{1}^{2}=(x+2)^{2}+y_{2}^{2}=...=(x+n)^{2}+y_{n}^{2}$ có nghiệm nguyên.



#2 One Piece

One Piece

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 36 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN

Đã gửi 15-10-2016 - 22:17

VMO 2003 đã chỉ ra trường hợp 4 số là sai 
còn n = 3 thì 
32+42=42+32=52+02



#3 I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1864 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học
  • Sở thích:Number theory,Combinatoric

Đã gửi 15-10-2016 - 22:42

Ta sẽ chứng minh với $n \ge 4$ thì phương trình không có nghiệm nguyên 
Nhận xét với $a \in \mathbb{Z}$ thì nếu $a$ lẻ thì $a^2 \equiv 1 \pmod{8}$ , $a^2 \equiv 0 \pmod{8}$ nếu  $a \equiv 0 \pmod{4}$ ,$a^2 \equiv 4 \pmod{8}$ nếu $a \equiv 2 \pmod{4}$ . 
Suy ra với $a,b \in \mathbb{Z}$ thì : 
$\begin{cases} &a^2+b^2 \equiv 2,1,5 \pmod{8},a \equiv 1 \pmod{2}&\\&a^2+b^2 \equiv 0,1,4 \pmod{8} ,a \equiv 0 \pmod{4}&\\&a^2+b^2 \equiv 0,4,5 \pmod{8},a \equiv 2 \pmod{4}& \end{cases}$ 
Giả sử tồn tại các số nguyên $x,y_1,y_2,y_3,y_4$ thỏa mãn 
$(x+1)^2+y_1^2=(x+2)^2+y_2^2=(x+3)^2+y_3^2=(x+4)^2+y_4^2$ 
Khi đó $x+1,x+2,...,x+4$ lập thành một hệ thặng dư đầy đủ mod $4$ . Nên theo trên phải tồn tại $k \in \mathbb{Z}$ sao cho 
$k \in \{2,1,5\} \cap \{1,0,4\} \cap \{0,5,4\}=\varnothing \Rightarrow \not \exists x,y_1,y_2,..,y_4$ thỏa mãn 
$n=3$ thì bạn trên chỉ ra rồi 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 06-01-2017 - 21:12





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh