Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm $ord_{3^{n}}\left ( 2 \right )$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
NTMFlashNo1

NTMFlashNo1

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 344 Bài viết

Tìm $ord_{3^{n}}\left ( 2 \right )$

Tìm $ord_{2^{n}}\left ( 3 \right )$


$\boxed{\text{Nguyễn Trực-TT-Kim Bài secondary school}}$


#2
Minhnguyenthe333

Minhnguyenthe333

    Trung úy

  • Thành viên
  • 804 Bài viết

Tìm $ord_{3^{n}}\left ( 2 \right )$

Tìm $ord_{2^{n}}\left ( 3 \right )$

Bổ đề: $2^{2.3^{n-1}}\equiv 1+3^n \pmod{3^{n+1}}$

Giả sử đúng tới $n$ thì ta chứng minh với $n+1$ thì mệnh đề trên vẫn đúng

Ta cần chứng minh $2^{2.3^n}\equiv 1+3^{n+1} \pmod{3^{n+2}}$

$\iff 2^{2.3^n}+2\equiv 3.2^{2.3^n} \pmod {3^{n+1}}\iff 4^{3^n}\equiv 1 \pmod{3^{n+1}}$

Hiển nhiên đúng vì $v_3(4^{3^n}-1)=v_3(3)+v_3(3^n)=n+1$ $\blacksquare$

 

Trở lại bài toán: 

Ta sẽ chứng minh $\text{ord}_{3^n} (2)=\varphi (3^n)=2.3^{n-1}$ theo quy nạp

Giả sử đúng tới $n$ thì ta chứng minh $n+1$ thì điều khẳng định đúng

Theo định lý Euler thì $2^{\varphi(3^{n+1})}\equiv 2^{2.3^{n}}\equiv 1 \pmod{3^{n+1}}$

$\implies  2^{2.3^{n}}\equiv 1 \pmod{3^{n}}$

Đặt $d=\text{ord}_{3^{n+1}}$ thì $d\mid 2.3^{n}$ và $\varphi(3^n)=2.3^{n-1}\mid d$

$\implies d=2.3^n$ hoặc $d=2.3^{n-1}$

Nếu $d=2.3^{n-1}$ thì theo bổ đề$\implies 2^{2.3^{n-1}}\equiv 1+3^n \pmod{3^{n+1}}$ (vô lí)

Vậy $ d=\text{ord}_{3^{n+1}}=2.3^n$ nên theo nguyên lí quy nạp ta có đpcm $\blacksquare$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh