Ngày 1
Bài 1: Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}x^{3}-y^{3}+3y^{2}+x-4y+2=0 & \\ \sqrt{2x^{2}+x+9}+\sqrt{2y^{2}-5y+4}=2x-y+5. & \end{matrix}\right.$
Bài 2:Cho dãy số {$x_{n}$} được xác định như sau:$\left\{\begin{matrix}x_{1}=1 & \\ x_{n+1}=1+\frac{n}{x_{n}} & \end{matrix}\right.$
1.Chứng minh rằng:$\sqrt{n}< x_{n}< \sqrt{n}+1 ,\forall n\geq 2.$
2.Với mỗi $n\in \mathbb{N^{*}}$, đặt $y_{n}=\frac{x_{n}}{\sqrt{n}}$.Chứng minh rằng dãy {$y_{n}$} có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Bài 3: Cho tam giác nhọn $ABC$ ($AB< AC$) ngoại tiếp đường tròn $\left ( I \right )$ và nội tiếp đường tròn $\left ( O \right )$. Gọi $P$ là trung điểm cung $BC$ không chứa $A$ của đường tròn $\left ( O \right )$; $J$ là điểm đối xứng với $I$ qua $O$. Tiếp tuyến tại $I$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $IBC$ cắt $BC$ tại $M$; $H$ là hình chiếu của $M$ trên $OI$. Gọi $D$ là trung điểm cạnh $BC$ và $K$ là giao điểm thứ hai của $ID$ với đường tròn ngoại tiếp tam giác $ODH$.
1.Chứng minh rằng tam giác $JPM$ vuông tại $P$.
2.Chứng minh rằng 3 điểm $H$, $A$, $K$ thẳng hàng.
Bài 4: Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N^{*}}\rightarrow \mathbb{N}^{*}$ thỏa mãn điều kiện
$(n-1)^{2}< f(n).f(f(n))<n^{2}+n,\forall n \in \mathbb{N^{*}}$.
Bài 5: Cho tập $S$ ={1, 2, 3, 4 ,5} và số nguyên dương $n$.Có bao nhiêu số nguyên dương M thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
a. M có $n$ chữ số được lấy từ $S$;
b.2 chữ số cạnh nhau của M hơn kém nhau nhiều nhất 1?
Ngày 2
Bài 1:Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$.
Chứng minh rằng: $\frac{(a+\sqrt{b})^{2}}{\sqrt{a^{2}-ab+b^{2}}}+ \frac{(b+\sqrt{c})^{2}}{\sqrt{b^{2}-bc+c^{2}}}+ \frac{(c+\sqrt{a})^{2}}{\sqrt{c^{2}-ca+a^{2}}}\leq 12$.
Bài 2:Cho 2 đa thức hệ số nguyên $P(x)=a_{n}x^{n}+ a_{n-1}x^{n-1}+ ...+ a_{1}x+ a_{0}$ và $Q(x)=b_{n}x^{n}+ b_{n-1}x^{n-1}+ ...+ b_{1}x+ b_{0}$ thỏa mãn $a_{n}-b_{n}$ là một số nguyên tố và $a_{n-1}=b_{n-1}$. Giả sử 2 đa thức $P(x),Q(x)$ có một nghiệm hữu tỉ chung là $m$ và $m\neq 0$. Chứng minh rằng $m$ là một số nguyên.
Bài 3: Cho tam giác nhọn $ABC$ không cân nội tiếp đường tròn $\omega$ tâm $O$. Một đường tròn $\omega^{,}$ đi qua $B, C$ cắt các cạnh $AB, AC$ lần lượt ở $E, F$ ($E, F \neq A$). Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ cắt lại đường tròn $\omega$ tại $K$ ($A \neq K$). $KE, KF$ lần lượt cắt lại đường tròn $\omega$ tại $Q, P$ ($P,Q \neq K$). Gọi $T$ là giao điểm của $BQ$ và $CP$; $M, N$ lần lượt là trung điểm $BF, CE$.
1. Chứng minh rằng $A, O, T$ thẳng hàng.
2. Chứng minh rằng $KA$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMN$.
Bài 4: Tìm tất cả các số nguyên dương $n>1$ có tính chất: nếu $a, b$ là các ước số của $n$ và $(a,b)=1$ thì $a+b-1$ cũng là ước số của $n$.
Bài 5: Cho $n$ là số nguyên dương lớn hơn 1 và $2n$ điểm trong không gian sao cho không có 4 điểm nào trong chúng đồng phẳng. Xét $n^{2}+1$ đoạn thẳng bất kì, mỗi đoạn có 2 đầu mút là 2 trong $2n$ điểm trên. Chứng minh:
1. Có ít nhất 1 tam giác được tạo thành từ $n^{2}+1$ đoạn trên;
2. Có ít nhất $n$ tam giác được tạo thành từ $n^{2}+1$ đoạn trên.
Hình gửi kèm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hieutran2000: 19-10-2016 - 18:16
)
