Chủ đề này có 3 trả lời

[Phanbalong]

Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} 2.\sqrt[4]{\frac{x^4}{3}+4}=1+\sqrt{\frac{3}{2}}.\left | y \right | & & \\ 2.\sqrt[4]{\frac{y^4}{3}+4}=1+\sqrt{\frac{3}{2}}.\left | x \right |& & \end{matrix}\right.$
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phanbalong: 18-10-2016 - 20:34

[leminhnghiatt]

Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} 2.\sqrt[4]{\frac{x^4}{3}+4}=1+\sqrt{\frac{3}{2}}.\left | y \right | & & \\ 2.\sqrt[4]{\frac{y^4}{3}+4}=1+\sqrt{\frac{3}{2}}.\left | x \right |& & \end{matrix}\right.$
 

 

Cộng vế với vế ta có:

 

$2\sqrt[4]{\dfrac{x^4}{3}+4}+\sqrt{\dfrac{3}{2}}|x|=2\sqrt[4]{\dfrac{y^4}{3}+4}+\sqrt{\dfrac{3}{2}}|y|$

 

Đặt $(|x|;|y|)=(a;b)$  với $a,b \geq 0$

 

Thay vào ta có:

 

$2\sqrt[4]{\dfrac{a^4}{3}+4}+\sqrt{\dfrac{3}{2}}a=2\sqrt[4]{\dfrac{b^4}{3}+4}+\sqrt{\dfrac{3}{2}}b$

 

Xét hàm $f(t)=2\sqrt[4]{\dfrac{t^4}{3}+4}+\sqrt{\dfrac{3}{2}}t$ với $t \geq 0$

 

Có đạo hàm: $f(t)'=\dfrac{8t^3}{3\sqrt[4]{(\dfrac{t^4}{3}+4)^3}}+\sqrt{\dfrac{3}{2}}>0$ với mọi $t \geq 0$

 

Vậy hàm $f(t)$ đồng biến liên tục trên khoảng đang xét
 

$\rightarrow a=b \rightarrow |x|=|y|$

 

Đến đây thay vào pt (1) ta có:

 

$2\sqrt[4]{\dfrac{x^4}{3}+4}=1+\sqrt{\dfrac{3}{2}}|x|$

 

Ý tưởng là như vậy , mk cx đang hoàn thiện nốt pt này

[Phanbalong]

Cộng vế với vế ta có:

 

$2\sqrt[4]{\dfrac{x^4}{3}+4}+\sqrt{\dfrac{3}{2}}|x|=2\sqrt[4]{\dfrac{y^4}{3}+4}+\sqrt{\dfrac{3}{2}}|y|$

 

Đặt $(|x|;|y|)=(a;b)$  với $a,b \geq 0$

 

Thay vào ta có:

 

$2\sqrt[4]{\dfrac{a^4}{3}+4}+\sqrt{\dfrac{3}{2}}a=2\sqrt[4]{\dfrac{b^4}{3}+4}+\sqrt{\dfrac{3}{2}}b$

 

Xét hàm $f(t)=2\sqrt[4]{\dfrac{t^4}{3}+4}+\sqrt{\dfrac{3}{2}}t$ với $t \geq 0$

 

Có đạo hàm: $f(t)'=\dfrac{8t^3}{3\sqrt[4]{(\dfrac{t^4}{3}+4)^3}}+\sqrt{\dfrac{3}{2}}>0$ với mọi $t \geq 0$

 

Vậy hàm $f(t)$ đồng biến liên tục trên khoảng đang xét
 

$\rightarrow a=b \rightarrow |x|=|y|$

 

Đến đây thay vào pt (1) ta có:

 

$2\sqrt[4]{\dfrac{x^4}{3}+4}=1+\sqrt{\dfrac{3}{2}}|x|$

 

Ý tưởng là như vậy , mk cx đang hoàn thiện nốt pt này

Đến đó là đến chỗ khó đó bạn, ko hiểu giải kiẻu gì, mà còn là đề ôn thi học sinh giỏi nên ko máy tính...

[tritanngo99]

Đến đó là đến chỗ khó đó bạn, ko hiểu giải kiẻu gì, mà còn là đề ôn thi học sinh giỏi nên ko máy tính...

Mình giải nốt phần còn lại như sau:

Ta có: $2\sqrt[4]{\frac{x^4}{3}+4}=1+\sqrt{\frac{3}{2}}|x|(1)$.

Nhận xét nếu $x$ là nghiệm của $(1)$ thì $-x$ cũng là $1$ nghiệm của $(1)$.

Do đó ta chỉ cần giải phương trình $\forall x\ge 0$.

Áp dụng BCS ta có:

 $2\sqrt[4]{\frac{x^4}{3}+4}=\sqrt[4]{(\frac{x^4}{3}+4)(12+4)}\ge \sqrt{2x^2+4}$.

Lại có: $\sqrt{2x^2+4}\ge \sqrt{\frac{3}{2}}x+1\iff (x-\sqrt{6})^2\ge 0(TRUE)$.

$\implies VT\ge VP$. Do đó dấu $=$ xảy ra: $x=\sqrt{6}$.

Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm thỏa mãn: $(|x|;|y|)=(\sqrt{6};\sqrt{6})$.