Đến nội dung


Chú ý

Diễn đàn vừa được bảo trì và nâng cấp nên có thể sẽ hoạt động không ổn định. Các bạn vui lòng thông báo lỗi cho BQT tại chủ đề này.


Hình ảnh

Chứng minh rằng tồn tại $f(A)=H \setminus B,g(B)= H \setminus A$

set

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 12 trả lời

#1 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1274 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 19-10-2016 - 15:44

Cho tập hợp $H$ , gọi $\rho(H)$ là họ tất cả các tập con của $H$ , xét hai ánh xạ tăng :

$$f,g : \rho(H) \to \rho (H)$$

$$X \subset Y \subset H$$

$$f(X) \subset f(Y) \subset H$$

$$g(X) \subset g(Y) \subset H$$

Chứng minh tồn tại $A,B \subset H$ thỏa mãn 

 

$$f(A)=H \setminus B,g(B)= H \setminus A$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 19-10-2016 - 15:45

Ý chí con người làm chỗ dựa cho họ lúc khó khăn , vậy khi nản chí thì cái gì sẽ giúp họ đứng dậy ? - Vô danh

#2 redfox

redfox

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 65 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK - ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:wild animal, EDM

Đã gửi 20-10-2016 - 22:28

Ta có các bổ đề sau

Bổ đề 1: $A\subset B\Rightarrow A\cap C\subset B\cap C, A\setminus C\subset B\setminus C$.

Bổ để 2: $f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B)$.

Bổ đề 3: Nếu $f$ tăng trên $\rho (H)$ thì $f$ luôn có một điểm bất động.

Chứng minh: Ta chứng minh bằng quy nạp với số phần tử của $H$

$\left | H \right |=0$, hiển nhiên.

Giả sử với $\left | H \right |\leq n$ bài toán đúng. Xét tập $H'=H\cup \left \{ a \right \},H\cap \left \{ a \right \}=\varnothing ,\left | H \right |=n$. Xét hai hàm trên $\rho (H)$: $g(A)=f(A)\setminus \left \{ a \right \},h(A)=f(A\cup \left \{ a \right \})\setminus \left \{ a \right \}$. Theo bổ đề 1, hai hàm này tăng, do vậy theo giả thiết quy nạp tồn tại hai tập $A,B\subset H$ sao cho $g(A)=A, h(B)=B$.

Nếu $f(B\cup \left \{ a \right \})=B\cup \left \{ a \right \}$, bài toán đúng với $n+1$.

Nếu $f(B\cup \left \{ a \right \})=B$, xét tập $A\cap B\setminus H$, theo bổ đề 2 ta có $\forall X\subset A\cap B, f(X)\subset A\cap B$, do vậy theo giả thiết quy nạp bài toán đúng với $n+1$.

Bổ đề $4$: $A\subset B\Leftrightarrow C\setminus B\subset C\setminus A$.

Ta quay lại bài toán. Xét hàm $h(X)=f(H\setminus g(H\setminus X))$. Theo bổ đề 4 ta có hàm $h$ tăng. Theo bổ đề 3 ta có $h$ tồn tại điểm bất động $X$. Dễ thấy hai tập $H\setminus g(H\setminus X) ,H\setminus X$ thỏa mãn đề bài.

(Q.E.D)

Bài này lạ quá. Anh lấy ở đâu vậy.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi redfox: 20-10-2016 - 22:31


#3 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1274 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 20-10-2016 - 22:48

Ta có các bổ đề sau

Bổ đề 1: $A\subset B\Rightarrow A\cap C\subset B\cap C, A\setminus C\subset B\setminus C$.

Bổ để 2: $f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B)$.

Bổ đề 3: Nếu $f$ tăng trên $\rho (H)$ thì $f$ luôn có một điểm bất động.

Chứng minh: Ta chứng minh bằng quy nạp với số phần tử của $H$

$\left | H \right |=0$, hiển nhiên.

Giả sử với $\left | H \right |\leq n$ bài toán đúng. Xét tập $H'=H\cup \left \{ a \right \},H\cap \left \{ a \right \}=\varnothing ,\left | H \right |=n$. Xét hai hàm trên $\rho (H)$: $g(A)=f(A)\setminus \left \{ a \right \},h(A)=f(A\cup \left \{ a \right \})\setminus \left \{ a \right \}$. Theo bổ đề 1, hai hàm này tăng, do vậy theo giả thiết quy nạp tồn tại hai tập $A,B\subset H$ sao cho $g(A)=A, h(B)=B$.

Nếu $f(B\cup \left \{ a \right \})=B\cup \left \{ a \right \}$, bài toán đúng với $n+1$.

Nếu $f(B\cup \left \{ a \right \})=B$, xét tập $A\cap B\setminus H$, theo bổ đề 2 ta có $\forall X\subset A\cap B, f(X)\subset A\cap B$, do vậy theo giả thiết quy nạp bài toán đúng với $n+1$.

Bổ đề $4$: $A\subset B\Leftrightarrow C\setminus B\subset C\setminus A$.

Ta quay lại bài toán. Xét hàm $h(X)=f(H\setminus g(H\setminus X))$. Theo bổ đề 4 ta có hàm $h$ tăng. Theo bổ đề 3 ta có $h$ tồn tại điểm bất động $X$. Dễ thấy hai tập $H\setminus g(H\setminus X) ,H\setminus X$ thỏa mãn đề bài.

(Q.E.D)

Bài này lạ quá. Anh lấy ở đâu vậy.

Chứng minh của em chỉ đúng cho tập đếm được . Tập không đếm được không quy nạp được 


Ý chí con người làm chỗ dựa cho họ lúc khó khăn , vậy khi nản chí thì cái gì sẽ giúp họ đứng dậy ? - Vô danh

#4 redfox

redfox

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 65 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK - ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:wild animal, EDM

Đã gửi 21-10-2016 - 10:21

Ý tưởng của em là chỉ cần xét khoảng $[0;1)$. Xét tập $D_n=\left \{ [0;\frac{1}{2^n});...[1-\frac{1}{2^n};1) \right \}$ và hàm trên $D_n$: $h_n(X)=\bigcup_{A\subset X}f(X),A\subset H$. Ta chứng minh được $h_n$ tăng, theo bổ đề 3 ta được các tập $X_1,X_2,...$ sao cho $h_k(X_k)=X_k$. Ta cũng chứng minh được $X_{k+1}\subset X_k$. Theo bổ đề về dãy các đoạn thẳng lồng nhau, ta chứng minh được tồn tại tập $X$ sao cho $f(X)=X$.

Tại em không biết trình bày mấy cái này, nên em ghi tắt (chắc em cũng lập luận sai ở đâu đó).

Anh học mấy cái này ở đâu vậy?



#5 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1274 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 21-10-2016 - 10:36

Hừm vấn đề em xét đoạn này liên quan gì đến bài toán , anh chỉ nói là chứng minh em cần sửa một chút để nó đúng cho lực lượng không đếm được
Ý chí con người làm chỗ dựa cho họ lúc khó khăn , vậy khi nản chí thì cái gì sẽ giúp họ đứng dậy ? - Vô danh

#6 redfox

redfox

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 65 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK - ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:wild animal, EDM

Đã gửi 21-10-2016 - 10:50

Không liên quan là sao ạ. Em chứng minh bổ đề 3 với tập không đếm được mà.

#7 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1274 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 21-10-2016 - 12:48

Em mới chỉ chứng minh được cho một loại vô hạn là $R$ , như thế chưa đủ vì luôn có một lực lượng lớn hơn thế rất nhiều
Ý chí con người làm chỗ dựa cho họ lúc khó khăn , vậy khi nản chí thì cái gì sẽ giúp họ đứng dậy ? - Vô danh

#8 redfox

redfox

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 65 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK - ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:wild animal, EDM

Đã gửi 22-10-2016 - 09:22

$X=\lim_{n\rightarrow \infty }f^n(H)$



#9 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1274 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 22-10-2016 - 10:04

??? Ý em là sao
Ý chí con người làm chỗ dựa cho họ lúc khó khăn , vậy khi nản chí thì cái gì sẽ giúp họ đứng dậy ? - Vô danh

#10 redfox

redfox

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 65 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK - ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:wild animal, EDM

Đã gửi 22-10-2016 - 11:36

Ta có $f(H)\subset H$ (hiển nhiên), bằng quy nạp $f^{n+1}(H)\subset f^n(H)$. Vậy $f^n(H)$ có giới hạn thỏa $f(X)=X$.

Không biết xài mấy từ này có ổn không.



#11 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1274 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 22-10-2016 - 13:24

Em viết cho anh đầy đủ chứng minh như chứng minh $1$ của em đi
Ý chí con người làm chỗ dựa cho họ lúc khó khăn , vậy khi nản chí thì cái gì sẽ giúp họ đứng dậy ? - Vô danh

#12 redfox

redfox

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 65 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK - ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:wild animal, EDM

Đã gửi 22-10-2016 - 17:25

Bổ đề: Nếu $f$ tăng trên $\rho (H)$ thì $f$ tồn tại một điểm bất động

Xét dãy tập hợp $X_0=H, X_{n+1}=f(X_n)$. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp $X_{n+1} \subset X_n$.

Với $n=0$, ta có $f(H)\subset H$ vì $f(H)$ thuộc $\rho (H)$ nên là tập con của $H$.

Giả sử $X_{n+1}\subset X_n$, theo định nghĩa hàm tăng, $f(X_{n+1})\subset f(X_n)$ hay $X_{n+2}\subset X_{n+1}$

Vậy $X_{n}$ dần tiến về tập $X\subset H$ (đoạn này thấy không ổn nhưng có vẻ đúng với tập hữu hạn). Ta có $f(X)=X$

Rồi làm như phần chứng minh trên.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 22-10-2016 - 21:26


#13 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1274 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 22-10-2016 - 20:01

Anh không biết là có bổ dề dãy hội tụ cho tập hợp hơn nữa em nên nhớ rằng ánh xạ nào cũng có điểm bất động là tập rỗng .


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 22-10-2016 - 21:27

Ý chí con người làm chỗ dựa cho họ lúc khó khăn , vậy khi nản chí thì cái gì sẽ giúp họ đứng dậy ? - Vô danh




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh


    Bing (1)