CMR tất cả các hệ số tổ hợp $\binom{n}{0};\binom{n}{1};\binom{n}{2};...;\binom{n}{n}$ là lẻ khi và chỉ khi n có dạng $2^{s}-1$
CMR tất cả các hệ số tổ hợp $\binom{n}{0};\binom{n}{1};\binom{n}{2};...;\binom{n}{n}$ là lẻ khi và chỉ khi n có dạng &
#1
Đã gửi 19-10-2016 - 22:51
Không có giới hạn tư duy nào của con người ngoài giới hạn do chính con người đặt ra (Napoleon Hill)
#2
Đã gửi 20-10-2016 - 18:20
Định lý Lucas : Cho $m,n \in \mathbb{N^*},p$ là số nguyên tố . Ta biểu diễn cơ sở $p$ của $m,n$
$\begin{cases} &m=m_k.p^k+m_{k-1}.p^{k-1}+....+m_1.p+m_0&\\&n=n_k.p^{k}+n_{k-1}p^{k-1}+...+n_1.p+n_0& \end{cases}$
Trong đó $0 \le m_i,n_i \le p-1,i=\overline{1,k}$ . Lúc đó $C_m^n \equiv \prod_{i=0}^k C_{m_i}^{n_i} \pmod{p}$
Lời giải : Bài toán sẽ phát biểu lại ngắn gọn là tìm tất cả các số nguyên dương $n$ để $C_n^l$ là số lẻ với $l=1,2,...,n$
Đầu tiên ta biểu diễn $l,n$ theo cơ số hệ cơ số $2$ : $n=\sum_{i=0}^k n_i.2^i,l=\sum_{i=0}^k l_i.2^i;l_i,n_i \in \{0,1\}$
Áp dụng định lí Lucas cho ta : $C_n^l \equiv \prod_{i=0}^k C_{n_i}^{l_i} \pmod{2}$
Mà ta có nhận xét sau $C_n^l,l=1,2,..,n$ là số lẻ $\Leftrightarrow l_i \le n_i \Rightarrow n_i=1,i=1,2,...,k$
Vậy $C_n^l,l=1,2,..,n \Leftrightarrow n_i=1,i=1,2,..,k$ tức $n$ có dạng $2^s-1$ (đpcm)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 20-10-2016 - 18:26
- Zz Isaac Newton Zz yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh