Cho các số thực x, y, z khác 1 và xyz=1. Chứng minh rằng $\sum \frac{x^{2}}{\left ( x-1 \right )^{2}}\geq 1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuonganh2003: 19-10-2016 - 23:02
Cho các số thực x, y, z khác 1 và xyz=1. Chứng minh rằng $\sum \frac{x^{2}}{\left ( x-1 \right )^{2}}\geq 1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuonganh2003: 19-10-2016 - 23:02
Đây là bài IMO 2008, bạn có thể tham khảo tại Bài toán 2 ở đây http://diendantoanho...h-bất-đẳng-thức
Bạn tham khảo thêm cách khác
Đặt $a= \frac{x}{x-1}\Leftrightarrow x= \frac{a}{a-1}$
$xyz=1 \Leftrightarrow abc= (a-1)(b-1)(c-1)\Leftrightarrow ab+bc+ac-a-b-c+1=0$
Ta có $(a+b+c-1)^{2}\geq 0\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 1$
Cho các số thực x, y, z khác 1 và xyz=1. Chứng minh rằng $\sum \frac{x^{2}}{\left ( x-1 \right )^{2}}\geq 1$
Đặt
$(\frac{a^2}{bc},\frac{b^2}{ca},\frac{c^2}{ab})\rightarrow (x,y,z)$ với $(a^2-bc)(b^2-ca)(c^2-ab)\neq 0$
Ta cần chứng minh:
$\frac{a^4}{(a^2-bc)^2}+\frac{b^4}{(b^2-ca)^2}+\frac{c^4}{(c^2-ab)^2}\geqslant 1$
Thật vây, theo Bunyakovsky dạng phân thức:
$\frac{a^4}{(a^2-bc)^2}+\frac{b^4}{(b^2-ca)^2}+\frac{c^4}{(c^2-ab)^2}\geqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{(a^2-bc)^2+(b^2-ca)^2+(c^2-ab)^2}$
Ta quy về chứng minh:
$(a^2+b^2+c^2)^2\geqslant (a^2-bc)^2+(b^2-ca)^2+(c^2-ab)^2$
Nhưng đây là bất đẳng thức đúng do nó tương đương:
$(ab+bc+ca)^2\geqslant 0$
Ta có điều phải chứng minh
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh